Binomialentwicklung gesucht für (a+b)^n+(a-b)^n

Question

Ahoi,

Ich hänge an ner Aufgaben und möchte gerne wissen, ob es mit der Lösung von mir seine Richtigkeit hat. Die Aufgabe hat den binomischen Satz zum Thema und gesucht ist die so weit wie möglich zusammenfassende Binominalentwicklung für

$$(a+b{ ) }^{ n }+(a-b{ ) }^{ n }$$

Darunter noch als Hinweis wortwörtlich : Es sind Fallunterscheidungen erforderlich :D

$$n=ungerade,\quad daher\quad meine\quad Lösung\\ \\ \\ Für\quad n=gerade\quad und\quad n,k\in N\quad und\quad a,b\in R\\ \\ \\ ((2\cdot (_{ 0 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-0 }{ \cdot b }^{ 0 }+((2\cdot (_{ 2 }^{ n })){ \cdot a }^{ n-2 }{ \cdot b }^{ 2 })+((2\cdot (_{ 4 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-4 }\cdot { b }^{ 4 })+((2\cdot (_{ 6 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-6 }\cdot { b }^{ 6 })......+((2\cdot (_{ n }^{ n }))\cdot { a }^{ n-n }\cdot { b }^{ n }\\ \\ \\ Für\quad n=ungerade\quad und\quad n,k\in N\quad und\quad a,b\in R\\ \\ \\ ((2\cdot (_{ 0 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-0 }{ \cdot b }^{ 0 }+((2\cdot (_{ 2 }^{ n })){ \cdot a }^{ n-2 }{ \cdot b }^{ 2 })+((2\cdot (_{ 4 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-4 }\cdot { b }^{ 4 })+((2\cdot (_{ 6 }^{ n }))\cdot { a }^{ n-6 }\cdot { b }^{ 6 })......+((2\cdot (_{ n-1 }^{ \quad n }))\cdot { a }^{ n-(n-1) }\cdot { b }^{ n-1 }\\\\ \\ \\ Seid\quad ihr\quad dafür\quad ?\quad Verbesserungsvorschläge\quad sind\quad willkommen\quad =)\\ Ich\quad danke\quad euch\quad im\quad voraus\quad und\quad verbleibe\quad mit\quad freundlichen\quad Grüßen\\ Salut$$

Comments

Für Fall n sei gerade

$$(a+b{ ) }^{ n }+(a-b{ ) }^{ n }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ { ( }_{ 2k }^{ n }) } \cdot { a }^{ n-2k }\cdot { b }^{ 2k } $$
aber Fall n sei ungerade macht mir zu schaffen genauer gesagt die Tatsache das der letzte Ausdruck in der Reihe, anders als im obigen Fall, wegfallen müsste. Deshalb (Siehe post oben) Für Fall n sei ungerade, der letzte Ausdruck ist ja ...\( ((2 \cdot (_{ n-1 }^{ n })) \cdot { a }^{ n-(n-1) } \cdot { b }^{ n-1 } \) Sprich das vorletzte Glied einer beliebigen Reihe n aus dem Pascalschen Dreieck?

Ich tappe ziemlich im dunkeln. Vorschläge sind willkommen :)

Ich danke euch im voraus und verbleibe mit freundlichem Gruß

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Golestan. Ich habe dein - durch ein "für" ersetzt. Mit Minus vor einer Formel schaffst du unnötige Mehrdeutigkeit. 

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Ahoi,

Alles klar. Danke Lu.

Salut

Answer 1

Hi Golestan,

ist in Ordnung :) (bis auf ein paar Notationsfehler).

Verbesserungsvorschläge:

1) Anstatt n=gerade lieber "sei n gerade". Das mit dem Gleichheitszeichen ist m. E. nach murks.

2) Ganze Gleichung aufschreiben nicht nur den Term.

3) Richtig Klammern setzen (es fehlen zwischendurch welche, bzw. zu viele). Am besten direkt unnötige Klammerung weglassen (zur Übersichtlichkeit).

4) (Optional, ich mag es kürzer ;)) Summenschreibweise verwenden.

Gruß

Comments

Sei n ungerade, d. h. \( \exists m \in \mathbb{N}: n-1 = 2m \). Dann ist:

$$ (a+b)^n+(a-b)^n = 2 \cdot \sum_{k=0}^m \binom{n}{2k} a^{n-2k}b^{2k} $$

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4) (Optional, ich mag es kürzer ;)) Summenschreibweise verwenden.

Ich kann nur zum eigenen Verständnis dazu raten das Ganze zunächst mal mit ein paar Zahlen für n direkt zu Probieren.

n = 2, 3, 4, 5, ...

Und zwar so lange bis man erkennt was dahinter steckt !!!

Dann den Term tatsächlich ohne Summenformel (mit ...) für ein beliebiges gerades und ungerades n notieren.

Als Krönung dann das ganze möglichst schön und einfach als handliche kleine Summenformel verpacken. Aber den letzten Schritt erst nachdem das alles wirklich verstanden worden ist.

Faule Studenten könnten natürlich auch gleich die Summenformel hier übernehmen ohne den Hintergrund wirklich richtig verstanden zu haben. Das könnte sich aber als trügerisch herausstellen und wird in der nächsten Klausur über das Thema mit einer entsprechenden Note geahndet.

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Verstehe den Kommentar nicht wirklich, da dies ja genau hier so durchgeführt wird. Golestan hat ja schon die richtige gliedweise Darstellung notiert. Alles was ihm fehlte (und was ihn anscheinend interessiert) ist die kurze Summenschreibweise. Diese ist sehr wichtig, da ab einem bestimmten Niveau der sichere Umgang Pflicht ist (insbesondere im Nachvollziehen von Beweisen). Da kann man sich bei gliedweiser Notation sehr schnell verhaspeln.

Faule Studenten könnten natürlich auch gleich die Summenformel hier übernehmen ohne den Hintergrund wirklich richtig verstanden zu haben

Naja, wenn man die Frage und Golestan's Lösung gelesen hat versteht man auch sicherlich das. Dies hat nichts mit Faulheit zu tun. Alles andere ist einfach nur Vermutung.

Das könnte sich aber als trügerisch herausstellen und wird in der nächsten Klausur über das Thema mit einer entsprechenden Note geahndet.

Das ist Unsinn. Warum sollte man bei der Verwendung der Summenschreibweise Punkte abgezogen bekommen, selbst mal eine Matheklausur (Analysis, etc) geschrieben? Wenn dann liegt es eher daran, dass man generell kein Plan hat was man da macht. Das hat aber nichts mit dem Thema zu tun.

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Ich habe weder gesagt noch gemeint, dass man bei der Verwendung der Summelformel Punkte abgezogen bekommt. 

Ich wollte nur dazu raten solange man noch unsicher ist, und darauf beruht die Frage von Golestan, dass es nützlich sein kann, es sich zunächst an Zahlenwerten zu verdeutlichen, dann eine allgemeine Formel ohne Summenschreibweise und ganz zum Abschluss die Summenschreibweise zu benutzen.

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Ok gut dann hab ich das tatsächlich missverstanden :).

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Ahoi,

sorry Leute ich hab zurzeit mit Kopfschmerzen zu kämpfen, bin nicht oft on... Das Engagement eurerseits ist prima.... vielen Dank .... @Der_Mathecoach : was anderes habe ich nicht machen gekonnt , da gebe ich dir vollkommen recht, hab mich den tag gestern Rauf und runter mit probieren und machen beschäftigt und die Funktion der Formeln ist gegeben...

@yakyu : vielen vielen dank ... einwandfrei ... die Formel, so machts den Eindruck, ist dir nicht ganz fremd oder? Oder was ist dein Geheimnis :-D

Salut

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Gerne :). Keine Sorge es gibt kein Geheimnis, der binomische Lehrsatz ist kein Buch mit sieben Siegeln ;).