Binomialentwicklung gesucht für (a+b)^n-(a-b)^n

Question

Ahoi,

Ich hänge an ner weiteren Aufgaben wie der von letztens und möchte gerne wissen, ob es mit der Lösung von mir seine Richtigkeit hat. Die Aufgabe hat den binomischen Satz zum Thema und gesucht ist die so weit wie möglich zusammenfassende Binominalentwicklung für

$$(a+b{ ) }^{ n }-(a-b{ ) }^{ n }$$

Das Verhalten ist wie folgt :

Für n sei ungerade :

$$2\cdot n(_{ 1 }^{ n }){ a }^{ n-1 }{ b }^{ 1 }+2\cdot n(_{ 3 }^{ n }){ a }^{ n-3 }{ b }^{ 3 }+2\cdot n(_{ 5 }^{ n }){ a }^{ n-5 }{ b }^{ 5 }....+2\cdot n(_{ n }^{ n }){ a }^{ n-n }{ b }^{ n }$$

Und für n sei gerade :

$$2\cdot n(_{ 1 }^{ n }){ a }^{ n-1 }{ b }^{ 1 }+2\cdot n(_{ 3 }^{ n }){ a }^{ n-3 }{ b }^{ 3 }+2\cdot n(_{ 5 }^{ n }){ a }^{ n-5 }{ b }^{ 5 }....+2\cdot n(_{ n-1 }^{ n }){ a }^{ n-(n-1) }{ b }^{ n-1 }$$

Dazu habe ich zwei Summenformeln aufgestellt :

Für n sei ungerade :

$$\exists \quad m\quad :\quad \frac { n+1 }{ 2 } =2\cdot k-1$$
Dann
$$2\cdot \sum _{ k=1 }^{ m }{ (_{ 2k-1 }^{ \quad n } } ){ a }^{ n-2k-1 }{ b }^{ 2k-1 }$$

Und für n sei gerade

$$\exists m\quad :\quad \frac { n }{ 2 } =\quad 2k-1$$
Dann
$$2\cdot \sum _{ k=1 }^{ m }{ (_{ 2k-1 }^{ \quad n } } ){ a }^{ n-2k-1 }{ b }^{ 2k-1 }$$

Ich möchte dazu anmerken, dass ich habe gerne wissen wollen ob z.B.

$$2\cdot \sum _{ k=1 }^{ n }{ (_{ 2k-1 }^{ \quad n } } ){ a }^{ n-2k-1 }{ b }^{ 2k-1 }$$
2 mal die Summer aller n über 2k-1 von k=1 bis n , ob "für k=1 bis n" das heißt, dass quasi bis 2*k-1 den Wert angenommen hat oder nein bis die Variable k den Wert n angenommen hat ??
Und mag jetzt gut sein, dass ich aus eurer Sicht eine komische Summenformel hab aber diese Frage ist für mich noch gegenwärtig... also wenn dann nur dadurch.... ;D ... Wisst ihr vielleicht davon ?

Verbesserungsvorschäge sind willkommen :-) :-)

Ich danke euch und verbleibe

Salut

Comments

" Ich möchte dazu anmerken, dass ich habe gerne wissen wollen ob z.B. 

$$2\cdot \sum _{ k=1 }^{ n }{ (_{ 2k-1 }^{ \quad n } } ){ a }^{ n-2k-1 }{ b }^{ 2k-1 }$$
2 mal die Summe aller n über 2k-1 von k=1 bis n , ob "für k=1 bis n" das heißt, dass quasi bis 2*k-1 den Wert angenommen hat oder nein bis die Variable k den Wert n angenommen hat ?? "

Wenn die 2 vor der Summe steht, wird erst mal die Summe ausgerechnet und danach das Resultat verdoppelt. Auf die Indizes hat die 2 keinen Einfluss.

Wenn eine Summe von k=1 bis n geht, heisst das, dass du der Reihe nach 1, 2, 3, 4, ... n einsetzen musst für den Summationsindex k. 

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Ahoi,

@ Lu : Danke, nur meine Frage ist eine andere. Ich werde später die Frage an dem Beispiel verdeutlichen, muss jetzt erstmal zur Arbeit.

Salut

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Tipp: Zur Darstellung eines Binomialkoeffizienten \(\boldsymbol{\large\binom nk}\) verwende besser \binom nk.

Answer 1

Hi Golestan,

die gliedweise Darstellung ist übrigens wieder für beide Fälle korrekt.

Machen wir das doch mal Schritt für Schritt. Betrachten wir den ungeraden Fall, dieselben Fehler finden sich im geraden Fall.

1) Grammatik: 

"Für n sei ungerade" klingt sehr komisch. Besser: "Sei n ungerade".

2) Die Bedingung:

Du hast geschrieben: \(\exists \quad m\quad :\quad \frac { n+1 }{ 2 } =2\cdot k-1\)

Das ist Käse denn:

        2a) Was soll \(m\) sein?

        2b) Warum kommt \(m\) nicht in der Gleichung vor, und was ist \(k\)?

Mir ist schon klar worauf du hinauswillst, allerdings kommst du mit dieser "Bedingung" nicht weit. Wir kommen gleich noch mal darauf zurück.

3) Die Summe:

Du schreibst: \(\Large 2\cdot \sum \limits_{ k=1 }^{ m }\binom{n}{2k-1}{ a }^{ n-2k-1 }{ b }^{ 2k-1 }\)

-> 3a) Das letzte Glied der Summe soll also "k=m" sein. Das bedeutet im Binomialkoeffizienten wird "2m-1" stehen, und das soll ja eigentlich "n" sein. Demnach bedeutet dies: 

$$ 2m-1 = n \Leftrightarrow m = \frac{n+1}{2}$$

Da \(n\) ungerade ist gibt es so ein \( m \in \mathbb{N} \). Das heißt die eigentliche Bedingung müsste also so aussehen:

$$ \exists m \in \mathbb{N}: \frac{n+1}{2} = m $$

-> 3b) Der Exponent von \(a\) ist falsch in der Summe, da du die Klammern vergessen hast. . Außerdem willst du eine Gleichheit zeigen. Nur die Summe aufzuschreiben ist zu faul->

$$ (a+b)^n - (a-b)^n = 2\cdot \sum _{ k=1 }^{ m }\binom{n}{2k-1}{ a }^{ n-(2k-1) }{ b }^{ 2k-1 } $$

Wie gesagt, im geraden Fall hast du dieselben Fehler.

Zu deiner letzten Frage:

Die Summe \( \sum \limits_{k=1}^n \) geht solange bis k = n. Das bedeutet wenn in der Summe der Ausdruck \(2k-1\) vorkommt ist der letzte Fall: \(2n-1\). Da \(\binom{n}{k} = 0 \) für \(k>n\) ist:

$$ (a+b)^n-(a-b)^n = 2\cdot \sum _{ k=1 }^{ n}\binom{n}{2k-1}{ a }^{ n-(2k-1) }{ b }^{ 2k-1 } $$

Im Grunde auch nicht falsch, aber auf den ersten Blick nicht so selbsterklärend wie die Darstellung mit der geeigneten Wahl von \(m\).

Gruß