Komplettküchen: Ermittlung der Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Herstellung von Schlauchverbindungen

Question

Die Herstellung von Komplettküchen umfasst auch den Einbau von Spülen sowie von Elektrogeräten wie Spülmaschinen, Herden, Backöfen etc. Dafür benötigt die Wissmann OHG u.a. Schlauchverbindungen mit bestimmten Längen und Durchmessern, die sie selber fertigt. Das hierfür notwendige Rohmaterial bezieht das Unternehmen von einem belgischen Lieferanten. Es ist aufgefallen, dass bei der Herstellung dieser Schlauchverbindungen sowohl Fehler in der Länge als auch im Durchmesser auftreten. Obwohl die Fehlerquoten bei der Länge 9% und beim Durchmesser 6% betragen, sind 90% der Schläuche fehlerfrei.

1. Stellen Sie zur Ermittlung der Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Länge und Durchmesser den  Sachverhalt in einem Baumdiagramm und einer Vierfeldertafel dar und weisen Sie rechnerisch nach, ob die beiden Fehler zwei voneinander unabhängige Ereignisse darstellen.

2. Die allgemeine Qualität der Schläuche muss so beschaffen sein, dass sie eine konstante Elastizität von 50% aufweist. Diese geforderte Eigenschaft hängt fast ausschließlich von der Beschaffenheit des Rohmaterials ab. Deshalb werden bei der Eingangskontrolle 15 Proben entnommen und auf Elastizität geprüft. Eine Lieferung wird abgelehnt, wenn der Mittelwert der Elastizitäten kleiner als 46% oder größer als 54% ist. Zusätzlich darf die Standardabweichung nicht mehr als 4% betragen. Die Ergebnisse der letzten Lieferung lauten: 41%, 46%, 49%, 43%, 46%, 47%, 43%, 42%, 48%, 43%, 44%, 46%, 47%, 48%, 42%.Entscheiden Sie, ob die Lieferung angenommen wird.

3. Zur ständigen Qualitätskontrolle gehört auch, dass Stichproben von jeweils 100 Schlauchverbin-dungen entnommen werden. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
a) höchstens 6 Schläuche fehlerhaft sind
b) mindestens 6 Schläuche einen Fehler im Durchmesser aufweisen
c) alle Schläuche fehlerfrei sind
d) genau 5 Schläuche die falsche Länge haben
e) beide Fehler bei einem Schlauch auftreten

4. Pro Monat werden 1.500.000 Schlauchverbindungen für den Verkauf produziert und in Packungen á 50 Stück für 10,00 € verkauft. Alle fehlerhaften Schläuche werden vorher aussortiert. Wie hoch ist der Monatsumsatz?

5. Nach Durchlaufen der Endkontrolle sind 99% der Schläuche fehlerfrei. Werden bei einer zufällig herausgegriffenen Packung 2 fehlerhafte Schläuche entdeckt, wird die Endkontrolle gestoppt und auf Unzulänglichkeiten überprüft. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Stopps und wie hoch wäre sie, wenn ein Stopp erst bei 3 fehlerhaften Schläuchen veranlasst würde?

Bitte möglichst ausführliche Lösungswege, damit ein 5er-Schüler sie nachvollziehen kann.

Answer 1

1. Stellen Sie zur Ermittlung der Fehlerwahrscheinlichkeiten bei Länge und Durchmesser den  Sachverhalt in einem Baumdiagramm und einer Vierfeldertafel dar und weisen Sie rechnerisch nach, ob die beiden Fehler zwei voneinander unabhängige Ereignisse darstellen. 

Wo liegt den genau das Problem? Wenn du ein 5er Schüler bist weißt du ja eventuell nicht einmal was eine 4-Felder-Tafel ist. Wir können hier die Aufgabe zwar vorrechnen aber es bringt nichts wenn du alle Grundlagen nicht verstehst. 

Schau dir mal die Erklärung und die Beispielaufgaben z.B. bei

https://de.serlo.org/mathe/stochastik/uebersicht-aller-artikel-zur-stochastik/vierfeldertafel

an. Versuche dann die gewonnenen Erkenntnisse auf deine Aufgabe zu übertragen und zeichne zunächst eine Vierfeldertafel. 

Das oben scheint ja eine komplette Klausur zu sein. Wenn du zu keiner Frage eine Idee hast kann man davon ausgehen das dir viele Grundlagen fehlen. Dann wäre es günstig sich Lernvideos anzuschauen oder dir den Stoff von einem Fachmann erklären zu lassen.

https://www.mathelounge.de/tutors

Comments

Mit dieser Antwort kann ich absolut nichts anfangen! Hätte ich zu keiner Aufgabe eine Idee gehabt, wäre das Ergebnis wohl keine 5 sondern eine glatte 6 gewesen. Oft fehlt mir nur ein Anstoß um eine Aufgabe lösen zu können. Zu den Aufgaben 3 und 5 fehlt mir jedoch jede Idee.

Meine Lösungen

zu 1. Summe der relativen Wahrscheinlichkeiten ist bei abhängigen Ereignissen 1, hier aber etwa 0,64.

zu 2. Die Lieferung wird abgelehnt, da der Mittelwert 45% ist.

zu 4: Der Umsastz ist 270.000 €

Ich hoffe, dass diese Lösungen richtig sind und ich für die anderen Aufgaben eine ausführliche Lösung bekomme.

---

1. Der Ansatz ist verkehrt. Zwei Ereignisse A und B sind unabhängig wenn gilt: P(A) * P(B) = P(A und B)

2. Das ist so richtig. Hier ist es zwar laut Aufgabe nicht nötig die Standardabweichung noch zu berechnen weil die Lieferung eh abgelehnt wird. Trotzdem könnte man das in einer Verbesserung zeigen, dass man auch das beherrscht. Zur Kontrolle: σ = 2.476

4. Auch das ist richtig.

Aufgabe 3 und 5 rechnet man mit der einfachen und der summierten Binomialverteilung. Dabei könnt ihr vermutlich die Tabelle der Binomialverteilung benutzen.

Die Formel für die Binomialverteilung lautet dabei: P(n, p, X = k) = (n über k) * p^k * (1 - p)^{n - k}

Die Wahrscheinlichkeiten kannst du der Vierfeldertafel von jd136 entnehmen, die so richtig berechnet ist.

Answer 2

zu 1) die Vierfeldertafel:
$$ \begin{array}{cc|cccccccc}  &  &  & D+ &  &  & D- &  &  & \textrm{Summe}\\  & \\ \hline & \\ L+ &  &  & \mathbf{{\color{blue}{0.90}}} &  &  & 0.01 &  &  & 0.91\\  & \\  & \\ L- &  &  & 0.04 &  &  & 0.05 &  &  & \mathbf{{\color{blue}{0.09}}}\\  & \\  & \\ \textrm{Summe} &  &  & 0.94 &  &  & \mathbf{{\color{blue}{0.06}}} &  &  & 1 \end{array}  $$

(gegebene Daten sind hervorgehoben)

zu 1) "Unabhängigkeit der beiden Fehlerereignisse" :

Du schriebst:

Meine Lösungen
zu 1. Summe der relativen Wahrscheinlichkeiten ist bei abhängigen Ereignissen 1, hier aber etwa 0,64.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was Du damit meinst.

Ob die beiden Abweichungen stochastisch unabhängige Ereignisse sind, lässt sich leicht anhand der Vierfeldertafel überprüfen: Ist das Produkt der Randwahrscheinlichkeiten identisch mit der entsprechenden Feldwahrscheinlichkeit, liegt Unabhängigkeit vor. Hier ist \(0.06\cdot 0.09 = 0.0054 \ne 0.05 \) oder, anders ausgedrückt \(P(D-)\cdot P(L-) \ne P(D-\,\cap\,L-)\).