Wie berechne ich den Kreisradius aus Bogenlänge und Sehnenlänge?

Question

Gegenben ist nur die Bogenlänge und die Sehnenlänge!

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laut wikipedia berechnet sich die Sehne aus s=2*Wurzel(2rh-h²)
die Segmenthöhe aus h=r-1/2*wurzel(4r²-s²)
der Radius aus r=(4h²+s²)/8h

bekommt man daraus nicht den radius?

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Hi, Bogen- und Sehnenlänge allein genügen nicht, um den Radius festzulegen. Es wird eine weitere Größe benötigt!

Answer 1

Für den Kreisbogen b mit Umfang (u) und den eingeschlossenen Winkel (α) im Mittelpunkt gilt:

b/u = α/(2π)

u = 2*π*r

-> b/(2*r) = α          (1)

Andererseits bilden die Sehne mit den Radien ein gleichschenkliges Dreieck, wo der Winkel α gegenüber der Sehne liegt. Die Schenkel sind jeweils der Radius. Die Länge der Sehne (s) ist dann die Grundseite.

Lassen wir das Lot vom Mittelpunkt auf die Sehne fallen, bekommen wir ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem der Radius die Hypotenuse und die halbe Länge der Sehne eine Kathete ist. Da bei gleichschenkligen Dreiecken der Gegenwinkel der Grundseite beim Lotfallen halbiert wird, gilt:

sin(α/2) = (s/2)/r = s/(2*r)

-> α = 2*arcsin(s/2*r)          (2)

Aus (1) folgt

r = b/α

Mit (2) ergibt sich dann

r = b/(2*arcsin(s/2*r))  

Answer 2

Das ist etwas tricky.

es gelten:

s = 2·r·SIN(α/2)

b = 2·pi·r·α/(2·pi) = r·α

Wir losen mal die zweite Gleichung nach r auf und setzen es in die erste ein.

s = 2·b/α·SIN(α/2) --> 2·b/α·SIN(α/2) - s = 0

Das können wir nicht nach α auflösen, weshalb man hier approximieren muss. Also macht man sich eine kleine Wertetabelle für die das gilt. Dann kann man noch das Newtonverfahren nehmen.

Hat man erstmal α, kann man auch r bestimmen und der Rest ist dann einfach.

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Newtonverfahren ungeprüft über

α_n+1 = α_n·(b·α_n·COS(α_n/2) - 4·b·SIN(α_n/2) + s·α_n) / (b·(α_n·COS(α_n/2) - 2·SIN(α_n/2)))