Kann man die Schnittgerade, zweier Ebenen in Koordinatenform berechnen ohne eine in bspw. Parameterform umzuwandeln?

Question

Gesucht ist die Schnittgerade g von E1 und E2

E1 : 2x + 6y + 3z = 12

E2 : 2x + 2y + 2z =8

Bei jeder anderen Gleichung würde ich nun perfekt das Subtraktionsverfahren anwenden,  um einen Parameter zu eliminieren, deswegen habe ich es hier einfach mal gemacht.

E1 - E2 = E3 E3: 4y + z  = 4 und jetzt könnte ich für z einen beliebige Variable einfügen oder?

Bspw. z = 4t und darauf würde folgen y= 1 - t  und x= 3 - 3t. Kann ich daraus eine Geradengleichung machen, wenn ja, warum und vor allem wie?

Answer 1

Antwort auf die Frage in der Überschrift. 

Das kannst du machen, wenn 2 Spurpunkte der Geraden vorhanden sind.

Berechne sie

Bsp z=0

E1 : 2x + 6y = 12

E2 : 2x + 2y =8

      0x + 4y = 4

-> y=1, ---> x= 3

------->  P(3|1|0)    ein erster Spurpunkt.

Bsp. y=0

E1 : 2x  + 3z = 12

E2 : 2x  + 2z =8

--------------------------

  0x + z = 4

z=4, → x=0

Q(0|4|0)

Bitte nachrechnen und erst dann mit den richtigen Werten eine Parametergleichung (EDIT Lu) für die gesuchte Schnittgerade hinschreiben. 

Antwort auf deine Rechnung:

 z = 4t und darauf würde folgen y= 1 - t  und x= 3 - 3t. 

g: (x,y,z) = (3, 1, 0) + t(-1, -3, 4)

Das wäre dein Resultat. Nun noch unsere beiden Rechnungen nachprüfen und möglichst ineinander überführen. Darfst du gerne noch anfügen, falls die Sache aufgeht wie gewünscht.

Comments

Zitat: Bitte nachrechnen und erst dann mit den richtigen Werten eine Koordinatengleichung für die gesuchte Schnittgerade hinschreiben.

Ein Gerade im Raum lässt sich nicht durch eine Koordinatengleichung beschreiben.

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Danke. Ist korrigiert. Hast du schon nachgerechnet? 

Answer 2

  Schnittgerade; eigentlich Knotenlinie  heißt: Schnittmenge. Die Gerade muss beide Ebenengleichungen gleichzeitig befriedigen; so lange du auf Koordinatenform bestehst, wirst du mit einer Gleichung nicht auskommen.

Answer 3

Zitat: Bspw. z = 4t und darauf würde folgen y= 1 - t  und x= 3 - 3t. Kann ich daraus eine Geradengleichung machen, wenn ja, warum und vor allem wie?

Hi, daraus kannst Du unmittelbar eine Parametergleichung machen, alle Vorarbeiten hast Du ja schon erledigt:
$$ \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\1\\0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -3\\-1\\4 \end{pmatrix} $$

Eine Darstellung einer Geraden durch nur eine Koordinatengleichung ist nicht möglich.