Schnittgerade zwischen zwei Ebenen in Koordinatenform mit Kreuzprodukt und Freistellen

Question

wir haben um die Schnittgerade zu berechnen nicht den normalen Ablauf gelernt, sondern sollen es mit dem Kreuzprodukt der beiden normalen Vektoren und einer Variable freistellen berechnen. Im Bsp: hat es funktioniert, aber bei der Aufgabe komme ich hier nicht weiter.

E1: x+y-z=1

E2: 4x-y-z=3

Um den Richtungsvektor der Geraden zu berechnen können wir jetzt das Kreuzprodukt berechnen.

Da kommt bei mir (-2,-3,-5) raus.

Also s: x= (?) u (-2,-3,-5)

Um ? zu berechnen sollen wir nun ein Gleichungssystem mit den zwei Ebenen aufstellen.

x+y-z=1

4x-y-z=3

Weil das Gleichungssystem überbestimmt ist sollen wir einfach ein Variable 0 setzten, das nennt sich Variable freistellen.

dann das GS lösen. Bei mir kommt dann für ? (4/5, 1/5, 0 ) raus .

Wenn ich die Aufgabe mit dem GTR löse kommt aber (4/3,1,4/3) als Ergebnis.

Ist da irgendwo ein Fehler?

Answer 1

Das muss kein Fehler sein.

Die Parameterform der Geradengleichung ist nicht eindeutig bestimmt.

D.h. jeder Punkt auf der Geraden kann als Stützvektor genommen werden.

Du kannst nun den Verbindungsvektor der beiden (vermutlichen) Stützvektoren berechnen.

Wenn er ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden ist, sind beide Stützvektoren richtig.

 (4/3,1,4/3) - (4/5, 1/5, 0 ) 

= (20/15, 5/5, 4/3) - (12/15, 1/5 , 0)

= (8/15, 4/5, 4/3) 

= (8/15, 12/15, 20/15)

= -1/15 ( -8, - 12. -20)

= -4/15 ( -2, -3, -5)

vgl. mit deinem

 (-2,-3,-5)

stimmt. 

Comments

Ein Kontrolle wäre wunderbar. Welche beiden Stützvektoren meinst du Lu? Ich habe doch jetzt erstmal nur den Einen.

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Als zweiten habe ich den der GTR-Lösung genommen. (Rechnung bereits oben)

(-2,-3,-5) kannst du auch als (2,3,5) nehmen. Dazu wird mit (-1) multipliziert. 

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Ah ok, das kann man ja in der Arbeit durchaus mal machen, wenn noch Zeit ist. Ist egal welchen ich subtrahiere?

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Wenn nichts Spezielles verlangt ist, einfach eine Parametergleichung gesucht ist, gibst du

s: x= (4/5, 1/5, 0 ) + u (-2,-3,-5)

oder

s: x= (4/5, 1/5, 0 ) + u (2,3,5)

an. 

Oder das Resultat des GTR. 

"Ist egal welchen ich subtrahiere? "

Ja. Das ändert nur die Richtung des Verbindungsvektors. Du kannst dann ein (-1)als Faktor  vor den Vektor nehmen.