Ermitteln der Schnittgerade zweier Ebenen in Koordinatenform

Question

Es seien die beiden Ebenen E₁ und E₂ gegeben, mit:

E₁= 3x-y-2z=5

E₂= x-y-4z=3

Sprich, man hat ein überbestimmtes Gleichungssystem, es gibt also keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

In diesem Fall schneiden sich beide Ebenen in einer Schnittgeraden. Bei der Ermittlung bekommt man immer einen Lösungsvektor heraus, welcher von einer der Koordinaten x,y oder z abhängt.

Ich habe mal alle drei Gleichungen, für die identische Gerade bestimmt:

g_z: x = (1,-2,0) + z* (-1,-5,1) ;  g_x: x= (0,-7,1) + x* (1,5,-1)  und g_y: x= (1.4,0,-0.4) + y*(0.2,1,-0.2)

Dabei müsste das x vor dem "=" immer als Vektor geschrieben werden. Die Ortsvektoren und den Richtungsvektor habe ich transponiert aufgeschrieben.

Nun zu meiner Frage: Man sieht immer wieder, dass die Variablen der Geradengleichung als lambda (z.B.) ersetzt werden. Wieso darf man das einfach machen?

Liegt es daran, dass man, egal von welcher Variablen x,y oder z abhängig, immer die gleiche Gerade bekommt und der einzige Unterschied darin liegt, dass man, wenn man z.B. in g_z für z=1 einsetzt, man dann auch genau den Ortsvektor herausbekommt, welcher als z-Koordinate 1 hat?. Da das egal ist, und es uns um die Menge aller Punkte auf dieser Geraden geht, kann man entweder x, y oder z (je nachdem in welcher Abhängigkeit man das LGS gelöst hat) durch lambda, r oder s (oder wie auch immer der gewünschte Geradenparameter aussieht) ersetzen.

Danke für die Hilfe.

Grüße Kombi

Answer 1

Liegt es daran, dass man, egal von welcher Variablen x,y oder z abhängig, immer die gleiche Gerade bekommt und der einzige Unterschied darin liegt, dass man, wenn man z.B. in gz für z=1 einsetzt, man dann auch genau den Ortsvektor herausbekommt, welcher als z-Koordinate 1 hat?.

So ist es !

Comments

Merci! Das hilft mir weiter :)

Answer 2

Deine Gedankengänge sind soweit richtig. Das ist zumindest in deinem Fall so. Es gibt sonderfälle, wenn die Schnittgerade parallel zu einer Koordinatenachse liegt. Dann gelingt das nicht für alle drei Koordinaten x, y und z. Das kannst du aber mal gerne ausprobieren.

Hier noch ein anderer Weg den ich eigentlich hilfreich fand zumindest wenn man sehr einfach einen gemeinsamen Punkt sieht ohne das Gleichungssystem zu lösen.

E1: 3x - y - 2z = 5
E2: x - y - 4z = 3

Zunächst mal bräuchtest du einen Punkt der auf beiden Ebenen liegt. Setz mal x = 0

Siehst du dann welcher Punkt das sein könnte

[0, -7, 1]

Notfalls kannst du hier aber auch das obige Gleichungssystem lösen. Es gibt natürlich unendlich viele Lösungen. Dir langt aber bereits eine.

Dann braucht man noch einen Richtungsvektor. Den bekommst du am einfachsten über das Kreuzprodukt der Normalenvektoren.

[3, -1, -2] ⨯ [1, -1, -4] = [2, 10, -2] = 2·[1, 5, -1]

Also ist die Schnittgerade

g: X = [0, -7, 1] + r·[1, 5, -1]

Comments

Das geht natürlich auch.

Ich wollte aber mal den Weg, so wie oben gezeigt beschreiten und verstehen, wieso man die Variable der Koordinatenachse einfach durch lambda ersetzen kann.

Man könnte ja auch eine der Ebenen in Parameterform umwandeln und dann die allgemeinen Koordinaten der Ebene 1 in die Ebene 2 einsetzen und so den Geradenparameter bestimmen

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Ja. Ich habe das oben noch ergänzt, wann zu Lambda nicht durch alle 3 Koordinaten x, y oder z ersetzen kannst.

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Wenn z.B. beide Ebenen parallel zur z.-Achse wären, dann könnte man da Gleichungssystem nicht in Abhängigkeit von x und von y lösen, da man dann auf der einen Seite etwas stehen hätte wie 0z=...; und dann müsste man um z zu bestimmen durch 0 teilen.

Demnach würde man nur eine Lösung in Abhängigkeit von z erhalten. Demnach kann man nur für z lambda einsetzen.

Answer 3

Vektrorielle Parametergleichung der Ebene E2: x=a+r*u+s*v

u(ux/uy/uz)  und v(vx/vy/vz)  Richtungsvektoren

E1: 3*x-1*y-2*z=5  Normalenvektor n1(3/-1/-2)

E2: 1*x-1*y-4=3  Normalevektor n2(1/-1/-4)

1) prüfen,unter welchem Winkel sich die Ebenen schneiden

Winkel zwische sich schneidenen Vektoren im Raum (a)=arccos|a*b/(|a|*|b|)

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag |a|=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag |b|=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) (a)=arccos(n1*n2/(|n1|*|n2|)=40,89°  Ebenen schneiden sich also

2) nun Ebene 2 in die Vektorielle Parametergleichung umwandeln

n2(1/-1/-4)

direkte Umwandlung in u(ux/uy/uz) und v(vx/vy/vz)

nx=1  → ux=ny=-1

ny=-1 → uy=-nx=-1

nz=-4  → uz=0

u(-1/-1/0)

nx=1 → vx=0

ny=-1 → vy=nz=-4

nz=-4 → vz=-ny=1

v(0/-4/1)

prüfe auf Richtigkeit

in E2: x=a+r*(-1/-1/0)+s*(0/-4/1)

a(ax/ay/az)  einen beliebigen Punkt der Ebene 2 ermitteln  wir wählen y=1 und z=1 in E2:

1*x-1*1-4*1=3

x=3+4+1=8

a(8/1/1)

E2: x=(8/1/1)+r*(-1/-1/0)+s*(0/-4/1)

eingesetzt in Ebene E1:  und nach den Geradenparameter s=.... umstellen

Mit meinem GTR (Casio) s=-8-1*r

in die Ebene E2: x=(8/1/1)+r*(-1/-1/0)+s*(0/-4/1) eingesetzt

Mit meinem GTR

Schnittgererade: g: x=(8/33/-7)+r*(-1/-5/1)

Hinweis:Eine Gerade hat unendlich viele Stützpunkte (Stützvektoren) a(ax/ay/az)

auch kann man den Richtungsvektor umwandeln multipliziert mal (-1) → m(1/5/-1)

Viel Spaß bei´m nachrechnen.