Potenzreihen und rekursive Folgen

Question

Hi habe schwierigkeiten mit folgender Aufgabenstellung

Gegeben sei die Potenzreihe _n=0∑^∞ c_nzⁿ   wobei die Koeffzienten c_n durch die rekursiv de nierte Folge

c0 = c1 = 1;            c_n+1 = c_n + 2c_n-1 fur n ≥ 1                gegeben sind.

a) Beweisen Sie: c_n ≥ 2^n-1 und |c_n+1 -2c_n| = 1 fur alle n ∈ N:        (Klar mit Induktion hänge aber beim auflösen)

b) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe.

c) Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten am Rand der Konvergenzkreisscheibe.

Answer 1

Die Folge \( c_n \) kann man explizit wie folgt schreiben
$$ c_n = \frac{2}{3} 2^n + \frac{1}{3} (-1)^n   $$ Jetzt kann man den Konvergenzradius z.B. mit dem Quotientenkriterium bestimmen.

Comments

Hi. Danke für deine hilfe. Gibt es da irgendeinen trick wie man herausfindet das die folge diese gestalt hat? oder muss man erst mit einsetzen von zahlen herumprobieren?

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Du machst hier den Ansatz \( c_n = \lambda^n \) und ermittelst die möglichen Werte, s.d. die Gleichung \( c_{n+1} = c_n+2c_{n-1} \) gelöst wird. Die allg. Lösung lautet dann \( a\lambda_1 + b \lambda_2 \). Die Werte für \( a\) und \( b \) bestimmst Du durch die Anfangsbedingungen.

Answer 2

c0 = c1 = 1

c_n+1 = c_n + 2·c_n-1

Induktionsanfang: n = 1 ; n = 2

c1 = 1 >= 2^{1 - 1} --> stimmt

c₂ = 1 + 2·1 = 3 >= 2^{2 - 1} --> stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

c_n+1 = c_n + 2·c_n-1

c_n+1 >= 2^{n - 1} + 2·2^{n - 1 - 1}

c_n+1 >= 2^{n - 1} + 2^{n - 1}

c_n+1 >= 2·2^{n - 1}

c_n+1 >= 2^n

w.z.b.w. oder q.e.d.

Comments

Induktionsannahme n = 1

... machst du selber

Intunktionsschritt: n --> n + 1

| c_n+1 - 2·c_n | = 1

| c_n + 2·c_n-1 - 2·c_n | = 1

| - c_n + 2·c_n-1 | = 1

| c_n - 2·c_n-1 | = 1

w.z.b.w.

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ich habe echt 2 seiten rumprobiert mit den verschiedensten möglichkeiten die so kompliziert sind, dabei geht es doch so einfach...

danke dir