Es gibt Polynome g € K[x] mit g(A)=A^{-1}, wenn A eine invertierbare n*n-Matrix ist.

Question

ich habe folgene Aufgabe:    Ist A € Gl(n,K), so gibt es Polynome g € K[x] mit g(A)=A^-1.

Mein Ansatz:

Da A € Gl(n,K), sei A invertierbar und g(x)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀ ihr charakteristisches Polynom. Nach Cayley-Hamilton gibt es A € M(nxn) mit g(A)=0. Also schreibe

g(A)=a_nAⁿ+a_n-1A^n-1+...+a₁A+a₀ = 0

= A (a_nA^n-1+a_n-1A^n-2+...+a₁) = - a₀

= (a_nA^n-1+a_n-1A^n-2+...+a₁ = - a₀A^-1

Teilt man nun durch -a₀ erhält man b_nA^n-1+b_n-1A^n-2+...+b₁ = A^-1

Folglich existieren solche Polynome.

 

Jetzt habe ich aber angenommen, dass a₀ ungleich 0 ist und das kann man ja nicht einfach so sagen. Habe daraufhin den Tipp bekommen, mit a_n ungleich 0 zu argumentieren, da dies durch die (nxn) Matrix gewährt ist (sonst wäre rang(A) < n). Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich nun vorgehen soll. Würde mich über jede Hilfe freuen!

Answer 1

 

Den Fall a₀ ≠ 0 hast du ja.

Für den Fall a_o = 0 kannst du doch dein Verfahren iterieren bis zu ersten Koeffizient der nicht 0 ist. Das muss spätestens bei a_n-1 der Fall sein, da a_nAⁿ nicht einfach = 0 sein kann, wegen dem Rang der Matrix. Sagen wir bei a_k

g(A)=a_nAⁿ+a_n-1A^n-1+...+a₁A+a₀ = 0

 (a_nA^n-1+a_n-1A^n-2+...+a₁)A = - a₀

         |Falls a₀ =0

= a_nA^n-1+a_n-1A^n-2+...+a₁ = 0

= (a_nA^n-2+a_n-1A^n-3+...+a₂)A = -a₁

…

Allgemein: Sek k das kleinste k, für das a_k ≠ 0

 

g(A)=a_nAⁿ+a_n-1A^n-1+...+a_kA^k = 0

 (a_nA^n-k+a_n-1A^n-k-1+...+a_k+1)A^k+1  + a_kA^k= 0

 (a_nA^n-k+a_n-1A^n-k-1+...+a_k+1)A^k+1  = - a_kA^k

(a_nA^n-k+a_n-1A^n-k-1+...+a_k+1)A^k+1  A^{-k-1} = - a_kA^k * A^{-k-1}

(a_nA^n-k+a_n-1A^n-k-1+...+a_k+1) = - a_kA^-1      |:(-a_k)

usw, wie du's gemacht hast.

Sollte mE genügen.

Nenne aber dein erstes Polynom nicht schon g, sondern zB. p, damit du das resultierende Polynom für A^{-1} mit g bezeichnen kannst.