Wie wurde diese Gleichung aufgelöst? R(1+x)^n+R(1+x)^{n-1}+........+R(1+x)+R = R(1+x)^{n+1}-1/x

Question

R(1+x)^n+R(1+x)^{n-1}+........+R(1+x)+R = R(1+x)^{n+1}-1/x

Ich weiß zwar dass man den Satz der Rationalen Zahlen hier anwenden muss aber wie man auf das Endzustand bleibt für mich gerade ungelöst.

Comments

Was ist der Satz der rationalen Zahlen?

Das sieht für mich eher nach der geometrischen Summenformel aus ( wobei du in diesem Fall entscheidende Klammern weggelassen hast).

Answer 1

Seztze mal für die Klammer (1+x) die Variable q ein.

und das R kannst du ausklammern, dann steht da

R * ( q^n + q ^n-1 + q ^n-2 + .... + q + 1 )

= R *  geometrische Reihe von o bis n mit Faktor q

Und für solche Reihen gibt es eine Formel

(Kann man mit vollst. Induktion beweisen)

= R *  ( q ⁿ⁺¹ - 1 ) / ( q - 1 ) )

wenn du jetzt wieder q = 1+x einsetzt, hast du

das Ergebnis ( bei dem du eine Klammer vergessen hast).

R* ((1+x)ⁿ⁺¹-1) / x

Answer 2

Das ist eine geometrische Reihe, und das Ergebnis kannst Du hier sehen

https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_ReiheSetze nur \( q = 1+x \) und wie schon gesagt, Klammern richtig setzten.