Grenzwerte von Funktionen f(x) = (√I1+xI - 1) / (x ) mit x-->0

Question

Wie kann ich die wurzelzeichen Weg machen?

Answer 1

f(x) = (√I1+xI  - 1) (√I1+xI  + 1) / (x (√I1+xI  + 1))

= (I1+xI  - 1) / (x (√I1+xI  + 1)) 

Da x in der Nähe von 0 grösser ist als -1

f(x) =  ((1+x)  - 1) / (x (√(1+x) + 1))             | für x> -1.

f(x) =  (x) / (x (√(1+x) + 1))                |x≠0 nach Voraussetzung

f(x) =  (1) / ((√(1+x) + 1))      

lim_(x->0) f(x) = 1 /(√(1+0) + 1)     = 1/2

Links- und rechtsseitiger Grenzwert automatisch auch gleich. 

Bitte erst mal nachrechnen!

Anmerkung:

Die Definition der Funktion enthält vermutlich einen Druckfehler. f(1) = 0 widerspricht der ersten Zeile.

Vielleicht wollte jemand f(0) = 0 oder 1 definieren.  

Nach einer der Definitionen in Wikipedia, die sehr verbreitet ist, kommt es nicht mal drauf an, ob f(0) definiert ist oder nicht, um zu sagen, dass bei deiner Aufgabe alle 3 Grenzwerte existieren und 0 sind (wenn ich richtig gerechnet habe)

Vgl. Beispiel hier https://de.wikipedia.org/wiki/Grenzwert_(Funktion)#Argument_endlich.2C_Grenzwert_endlich

Comments

Das gilt ja auch für a und b oder?

---

Richtig. Das habe ich an der betreffenden Stelle erwähnt.

---

Dort müssen aber die Vorzeichen geändert werden, dann ein Linksseitiger Grenzwert kommt raus -1/2 und bei rechtsseitiger Grenzwert 1/2. Liege ich da richtig?

---

Nein. Einen Betrag hast du nur unter der Wurzel.

"Da x in der Nähe von 0 grösser ist als -1"

Daher musst du keine Vorzeichen ändern. x+1 ist ja immer noch grösser als 0, wenn x z.B. -1/2 oder -1/100 ist. 

---

Danke für deine Hilfe @Lu

Answer 2

ich finde an der Aufgabe einiges merkwürdig.

Was soll es für x = 1 null als Funktionswert zu definieren ?

Desweiteren für a.) lim x −> 0(-) und b.) lim x −> 0(+)  ist der
Grenzwert 1/2. ( nach l´Hospital ). Führe ich gern vor.

Dies zeigt auch der Graph.

Was bedeutet bei c.) lim x −> 0  ?

Soviel zunächst.

Comments

es soll aber nicht mit Hilfe der  l' Hospital gerechnet werden

---

bahdinan: Hospital braucht man auch nicht. Vgl. meine Rechnung. Schreib das auf deinem Blatt ruhig mit Bruchstrichen.

Answer 3

Wieso "die", also Plural? Ich seh nur eines.

Standardtrick mit dritte binomischer Formel:

$$(\sqrt{a} -b)(\sqrt{a}+b)=a-b^2$$

Erweitere den Bruch also mit $$\sqrt{|1+x|}+1$$

Comments

Na von f(x)= |1+x| in Wurzel-1/ x

---

Ich habe aber immer noch das wurzelzeichen zu stehen, wie kann ich es aufschreiben?

---

Wieso ist der Aufschrieb ein Problem?

Und ja, da steht immer noch ein WUrzelzeichen, ganz weg geht das schlicht nicht.

Jetzt sollte es aber handhabbar sein.

---

kannst du mir dann bitte die 4. a) zeigen also das du es mir aufschreibst wie ich aufschreiben muss

---

Hi, diese Umformung ist irgendwie nicht so hilfreich.
Sie stattdessen mal zu, dass Du die Betragsstriche los wirst.

---

Tut mir leid, ich sehe keinen Sinn darin das zu tun.

---

Und wieso siehst du kein Sinn drin, damit ich es mir vorstellen kann, was gemeint ist.

---

Hm... den sehe ich jetzt auch nicht mehr, ich hatte die Aufgabenstellung nicht richtig gelesen. :-)

Im übrigen finde ich die Aufgabenstellung fehlerhaft.

---

@bahdinan: Ich hatte das Ende des Wurzelzeichens beim Lesen nach hinten verlegt!

---

Da es offensichtlicher Tippfehler in der Aufgebanstellung, der zweite Fall ist offensichtlich x=0.

Und mein letzter Kommentar war an bahdinan gerichtet nicht an hh919.

Der Sinn dessen Kommentars ist mir allerdings in der Tat  auch nicht klar.