Erweiterung. Wieso rechnet man so bei der Grenzwertrechnung? lim (n+1)^{1/2} - n^{1/2} .

Question

Wenn man den Grenzwert von lim (n+1)^{1/2} - n^{1/2} steht bei mir dass man ganze mal

(n+1)^{1/2} + n^{1/2}/(n+1)^{1/2} + n^{1/2} nimmt damit man am Ende 1/(n+1)^{1/2}+n^{1/2} enthält woraus man schließen kann, dass der Grenzwert 0 ist.

Aber bei mir ist die Unklarheit, ob man es so gerechnet hat, weil man das in der Aufgabe sehen konnte, oder es Einfluß auf ein Rechenregel hatte, damit man das so rechnen konnte.

Das hätte ich gerne geregelt

Answer 1

dass man ganze mal

((n+1)^1/2 + n^1/2  )  /   ((n+1)^1/2 + n^1/2 ) 

nimmt damit man am Ende

1/   ( (n+1)^1/2+n^1/2 )  enthält.

Dass die Rechnung richtig ist und zum Ziel führt, scheint dir

klar zu sein; es geht wohl darum wie man drauf kommt  ?

Das ist ein klassischer Fall der Anwendung der 3. binomi. Formel

um Terme mit Brüchen " übersichtlicher " zu machen.

Das kann man immer versuchen, wenn man das Gefühl hat, dass sich durch

eine solche Umformung aus dem Ergebnis etwas ablesen läßt.

Konkreter kann ich es dir auch nicht beschreiben, es klappt etwa

auch bei dem Grenzwert von  n - (n^2 + 1) ^1/2   

Kannst du ja mal versuchen und dich wieder melden.

Comments

Aber wenn ich jetzt ein Bruch hätte mit n+n^2/((n^4)+n) würdest ehr empfehlen es nach den größten Exponent zu kürzen (hier also n^4) damit man am Ende mit (1/n^3 + 1/n^2) /(1 + 1/n^3) besser arbeiten kann?

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genau, in diesem Fall wäre das clever.

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würdest das auch in Fällen wo aus  (n+1)^1/2 - n^1/2  nur (n+1)^{1/2} gegeben ist machen? Kann man da irgendwir auch den Binomischen Formel anwenden oder würdest du eher einfach nach den größten Exponent kürzen

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versteh nicht ganz, bei   (n+1)^1/2 - n^1/2  lässt sich nichts kürzen, ist gar kein Bruch.

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nee nee also wenn man nur (n+1)^{1/2} hätte meine ich.

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gast: In diesem Fall brauchst du keinen speziellen Trick.

Wenn n unter der Wurzel  (n+1)^1/2 wächst gegen unendlich, was passiert da mit dem Wert der Wurzel?

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hätte nur gedacht da könnte man auch durch n kürzen und am Ende Grenzwert 1 haben. Ich meine wann darf man solche Rechentricks anwenden und wann nicht?

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Wenn n unter der Wurzel  (n+1)^1/2 wächst gegen unendlich, was passiert da mit dem Wert der Wurzel?

Wenn ein Term offensichtlich gegen unendlich geht, brauchst du keinen Rechentrick anzuwenden und malst einfach das Zeichen unendlich daneben. 

Tricks brauchst du nur zu bemühen, wenn du mit offensichtlichen Schritten nicht weiterkommst. 

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Manchmal ist es hilfreich erst mal für n ein paar große Zahlen

100,  10000,  1000000 ... einzusetzen

und zu schauen, ob man schon einen Verdacht bekommt, was

der Grenzwert ist.  Dann kann man zum Nachweis manchmal

solche Tricks benutzen. Es gibt noch mehr,

die aber wohl noch nicht hattet wie d ' Hospital etc.