Grenzwert berechnen mit Wurzeln: lim √(n) * ( √(n+1) - √(n))

Question

ich möchte den folgenden Grenzwert berechnen:

lim √(n) * ( √(n+1) - √(n))

n→∞

Als Ergebnis soll 1/2 rauskommen. Ich verstehe aber nicht, wie ich dahin komme.

Comments

Es fehlt noch eine schliessende Klammer. Am Schluss?

Erweitere vielleicht mal die Differenz mit dem 3. Binom. Du musst noch einen Bruchstrich erfinden.

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Ja, am Schluss habe ich die Klammer vergessen. 

Werde es mal mit deinem Tipp versuchen.

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EDIT: Klammer ergänzt.

Answer 1

lim √(n) * ( √(n+1) - √(n))

= lim √(n) * ( √(n+1) - √(n))(√(n+1) + √n) /(√(n+1)) + √n)

= lim √(n) * ((n+1) - n) / ((√(n+1) + √n)

= lim √(n)  / ((√(n+1) + √n)

=  lim 1 / ((√(n+1) + √n)/√n)

=  lim 1 / (√((n+1)/n) + 1)

=  lim 1 / (√(1+1/n) + 1)           |n gegen unendlich

= 1/(1+1) = 1/2

Comments

Danke für die ausführliche Antwort! Mir hat am Anfang einfach die Idee zur 3. Binom. gefehlt.