Grenzwert einer Differenz von Wurzeln. a_n:= √(n+1) - √(n-1)

Question

ich soll den Grenzwert einer Folge bestimmen und haben leider wieder keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Vielleicht kann man es irgendwie mit erweitern versuchen?

$$(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})$$

Julian

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Grenzwert der Folgen bestimmen. an:= √(n+1) - √n.

Stichworte: grenzwert,folge,differenz,wurzel,brüche,arithmetische,reihen

wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.

danke! 

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Vom Duplikat:

Titel: grenzwerte für folgen: Bsp. Differenz von Wurzeln dn:= √(n+1) - √(n)

Stichworte: grenzwert,folge,differenz,wurzel

Hallo kann mir jemand.bei diesen Aufgaben weiterhelfen.

Der Grenzwert geht bei allen gegen 0 ,Aber kann mir jemand erklären warum ich verstehe, dass nichht wie man  aif die Grenzwerte hier kommt. 

Dankeschön

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Hier mal ein Link zu d) https://www.mathelounge.de/231568/grenzwert-der-folgen-bestimmen-an-%E2%88%9A-n-1-%E2%88%9An

Den Rest findest du sicher auch bei den schon vorhandenen Fragen. "ähnliche Fragen" und "Suche" benutzen.

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Meinst du den Grenzwert für n -> oo ?

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Tipp. Formuliere Überschriften genau (nicht Funktion schreiben, wenn es eine Folge ist, habe ich korrigiert) und nutze auch die Rubrik "ähnliche Fragen".

Answer 1

$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})\cdot \frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n+1-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n}\cdot \frac{2}{\sqrt{n}}}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}\right)}$$$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{0}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}=0$$

Answer 2

Meine Berechnung:

Falls die Aufgabe so lautet:

Answer 3

wurzel(n+1) - wurzel(n)

  als Bruch mit Nenner 1 vorstellen und mit   (wurzel(n+1) + wurzel(n))

erweitern gibt wegen 3. binomi. Formel

  (n+1 - n)  /  (wurzel(n+1) + wurzel(n))     =    1 /   (wurzel(n+1) + wurzel(n))

Nenner geht gegen unendlich, also GW ist 0.

b) mit n^5 kürzen gibt

(3/n^3 + 5/n^4 )   /   (  1 + 2/n   +  3/n^5 )

Grenzwert 0/1 gibt 0

c) Die Summe ist n(n+1)/2   also

(0,5n^2 + 0,5n ) / n2  =  0,5 + 0,5/n  grenzwert  0,5 + 0  = 0,5

d) (n^2 + 6n + 9 - n^2 ) / (2n+1) =  ( 6n+9) / (2n+1)  mit n kürzen gibt GW=3

Comments

Ah super.

Vielen Dank :)

Liebe Grüße

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Habe doch nochmal eine Frage.

d konnte ich nachvollziehen, bei dem Rest allerdings nicht so.....

Bei d hatte ich am Ende auch: (6n+9)/(2n+1) raus.

Wie komme ich dann auf den Grenzwert?

Könntest du vielleicht nochmal ein paar Zwischenschritte aufschreiben?

Wäre super lieb.

Answer 4

bei solchen Grenzwerten kannst du immer mit der 3ten binomischen Formel erweitern.