Vollständige Induktion summenzeichen_(k=1)^{n-1} kln((k+1)/k)=nln(n)-ln(n!)

Question

Ich brauche Hilfe bei dieser Vollständigen Indunktion:

$$\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =nln(n)-ln(n!)\quad \quad n\ge 2$$

Beim Induktionsschluss bin ich so weit gekommen:

$$\sum _{ k=1 }^{ n }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =(n+1)ln(n+1)-ln((n+1)!)$$

$$=\sum _{ k=1 }^{ n }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } =\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ kln(\frac { k+1 }{ k } ) } +(k+1)ln(\frac { k+2 }{ k+1 } )$$

$$=nln(n)-ln(n!)+(n+1)ln(\frac { n+2 }{ n+1 } )$$

$$=nln(n)-ln(n!)+(n+1)ln(n+2)-ln(n+1)$$

Kann mir jemand sagen ob ich richtig gerechnet habe bis dahin?Wenn ja, was muss ich als nächstes machen?

Danke

Answer 1

Bei der letzten Summe heißt es

Summe k=1 bis n-1 über k*ln((k+1)/k) + n* ln ( (n+1) / n )

denn du musst ja beim letzten Summanden n für k einsetzen

dann so

= n*ln(n) - ln(n!) + n * ( ln(n+1) - ln (n) )

= n*ln(n) - ln(n!) + n *  ln(n+1) -  n * ln (n)

=  - ln(n!) + n *  ln(n+1)

=  n *  ln(n+1)    -   ln(n!)

= n *ln(n+1) + ln(n+1)  - ln(n+1)    -   ln(n!)
Das rote ist = 0, kann man also dazunehmen!
Dann ln(n+1) bei den ersten beiden ausklammern
und die hinteren beiden zu einem ln zusammenfassen.

=  (n+1)*ln(n+1)  - ln ( (n+1) ! )

q.e.d.

Comments

Ich habe ein allgemeines verständnisproblem.

In deiner Zeile in der die Summe steht wird der 2. summand nicht um n+1 erhöht. ich verstehe nicht wann ich n um 1 erhöhen soll und wann nicht. bei anderen aufgaben war das anders. wovon ist das abhängig?

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Wenn in der Aufgabe selbst die Summe bis n geht, geht es im Induktionsbeweis

bis n+1.

Wenn es aber in der Aufgabe wie hier nur bis n-1 geht, geht es im

Ind.bew. bis n. 

Bei dem Ind.Schluss geht es immer um einen weiter als bei der

gegebenen Form.

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Danke für deine Antwort.Habs denk ich verstanden.
Noch eine sache ist mir nicht klar:
ln(n+1) - ln(n!)   wie werden die beiden zusammengefasst?