Hallo Julius,
Du weißt sicher dass \(\ln(a) +\ln(b)=\ln(a \cdot b)\) ist. Damit ist auch \(\sum \ln(a_n)=\ln(\prod a_n)\). Es reicht also, zu zeigen, dass
$$\prod_{n=0}^{N}1 + x^{(2^n)}=\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n$$
ist. Für \(N=0\) ist \(1+x=1+x\), damit ist der Induktionsanfang erfüllt. Der Induktionssschritt sähe jetzt so aus
$$\prod_{n=0}^{N+1}1 + x^{(2^n)}=\left(\prod_{n=0}^{N}1 + x^{(2^n)}\right)(1+x^{(2^{N+1})})=\left(\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n\right)(1+x^{(2^{N+1})})$$
$$\space = \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n +\left(\sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n\right)x^{(2^{N+1})}= \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^{\left( n + 2^{N+1}\right)}$$
$$ \space = \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=2^{N+1}}^{2^{N+1}-1+2^{N+1}} x^n= \sum_{n=0}^{2^{N+1}-1} x^n + \sum_{n=2^{N+1}}^{2^{N+2}-1} x^n=\sum_{n=0}^{2^{N+2}-1} x^n$$
q.e.d.
