Die Summe einer unendlichen Reihe ist der Grenzwert der Folge der
Partialsummen.
Es gilt also dass $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{m}\frac{1}{n(n+1)}$$
Wir wollen den Bruch in der folgende Form schreiben $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$$ schreiben. Wir wollen also die Werte von A und B berechnen.
$$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1} \\ \Rightarrow \frac{1}{n(n+1)}=\frac{A(n+1)+Bn}{n(n+1)} \\ \Rightarrow 1=(A+B)n+A \\ \Rightarrow A+B=0 \ \text{ und } A=1 \Rightarrow B=-A=-1$$
Wir haben also dass $$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$$
Daher haben wir folgendes: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{m}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$$
Es gilt folgendes: $$\sum_{n=1}^{m}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots +\frac{1}{m-1}-\frac{1}{m}+\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}\\ =1-\frac{1}{m+1}$$ (Man nennt diese Summe Teleskopsumme)
Daher bekommen wir: $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{m\rightarrow \infty }\sum_{n=1}^{m}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\lim_{m\rightarrow \infty }\left(1-\frac{1}{m+1}\right)=1-0=1$$
