Question

Beweise die Gleichung e= ∑1/k! (k=0 bis ∞) wobei e = lim_n->∞(1+1/n)ⁿ mithilfe des Binomiallehrsatzes

Answer 1

\( (1+ \frac{1}{n})^n = \sum \limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \cdot (\frac{1}{n})^k = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot (\frac{1}{n})^k  \)

\( = \sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} \cdot \frac{n!}{(n-k)!} \cdot (\frac{1}{n})^k = \sum \limits_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \cdot \prod \limits_{i=1}^{k}  \frac{n+1-i}{n}\)

und die Produkte gehen gegen 1.

FEHLER !  s. Kommentar von Gast hj2166

Comments

Den letzten Schritt mit dem Umformen zum Produktzeichen hatten wir noch nicht in der Vorlesung.. Kann ich irgendwie anders zeigen, dass der hintere Teil gegen 1 geht? Ich überlege schon die ganze Zeit, aber mir fällt dazu nichts ein.

DaDas

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Kann ich irgendwie anders zeigen, dass der hintere Teil gegen 1 geht?

Bemühe dich nicht, denn es kommt nicht nur darauf an, dass er gegen 1 geht sondern auch noch wie er gegen 1 geht. ms Argument ist also zu schwach.

m zeigt, dass   (1+1/n)^n =  ∑[k=1..n] 1/k!*g(n,k)  mit einer Funktion g, die
lim_n→∞ g(n,k) = 1 für alle k erfüllt und sagt, dass daraus die Behauptung folgt.

Das stimmt aber nicht, wie das Beispiel der Funktion g mit g(n,k) = k!/n + 1  zeigt :
Die Summe  ∑[k=1..n] 1/k!*(k!/n+1)  =  ∑[k=1..n] (1/n + 1/k!)  konvergiert noch nicht einmal.

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Sehe ich ein. Hast du ein stärkeres Argument ?

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Hallo,

ich denke, es geht so: Das Produkt geht für jedes k gegen 1 und ist immer kleiner gleich 1. Wir teilen die Summe auf in einen Teil bis k=m und den Rest. Den Rest machen wir klein, indem wir m hinreichen groß wählen (Reihenrest). Für den ersten Teil wählen wir dann ein geeigneten Schwellenindex (abhängig von m) für n, so dass dieser Teil die Summe über 1/(k!) mit der gewünschten Genauigkeit approximiert.

Gruß Mathhilf