Kongruenz mit Modulo. x^2 = x (mod 40) lösen

Question

Wie löse ich folgende Gleichung:

x = x^2 (mod 40)

Answer 1

Wenn du in der Form

x * (x-1) = 0   ( mod 40) die Möglichkeiten durchgehst, geht es recht flott.

0*39 = 0   das passt natürlich und

1*0 = 0   auch.

Dann kommen aber mit

2*1

3*2

...   erst mal etliche, bei denen keine 0 alsEndziffer entsteht ,

also nicht kongruent 0 mod 40 sein können.

außer:

5*4 aber 20 passt nicht

6*5 = 30 auch nicht.

nächstes Produkt mit 0 am Ende wäre

10*9

11*10    beides falsch

15*14=380 nix aber

16*15=240

20*19 falsch

21*20 falsch

25*24 = 600

26*25 falsch

und die wenigen, die nioch

ne 0 am Ende haben

30*29 etc. passen alle nicht.

Also Lösungsmenge

{ 0 ; 1 ; 16; 25 }

Answer 2

Möglichkeit 1: Alle 40 Möglichkeiten durchgehen.

Möglichkeit 2: Chinesischer Restsatz, d.h. die Gleichung mod 8 und mod 5 lösen.

Comments

Man könnte auch etwas mehr Übersicht schaffen:

x² = x (mod 40)
⇔
x * (x-1) = 0 (mod 40)

---

Was in einem Ring mit Nullteilern nicht sonderlich viel bringt.

---

Und warum nicht?         

---

Und wie kann ich das mit dem chinesischen Restsatz machen ?

---

@hh911: Was sollte es groß bringen?

@jd192: Hab ich doch mit dem d.h. eklärt? Bitte die Nachfragen konkreter stellen.

---

Wie würde ich es denn konkret lösen meine ich. Also verstehe das vorgehen noch nicht so ?

---

Da löst die Gleichungen mod 8 und 5, im Zweifelsfall durch Einsetzen aller Werte, und verwendest dann den chin. Restsatz im die Lösungen mod 40 zu erhalten.

---

ok und wenn ich jetzt mod 29 hätte was würde ich da machen ? 

---

Das kommt auf die exakte Fragestellung an.

---

und Mod 29 wäre es einfach.

Da ist der Restklassenring ein Körper (da 29 Primzahl) ,

also nullteilerfrei und da wären o und 1 die einzigen Lösungen.