Hi,
gesucht ist ein Polynom der Form $$ p(x) = \frac{\alpha_0}{2} + \sum_{k=1}^n \left[ \alpha_k \cos(kx) + \beta_k \sin(kx) \right] $$
Die Koeffizienten berechnen sich nach
$$ (1) \quad \alpha_k = \frac{2}{m} \sum_{j=0}^{m-1} f_j \cos(k x_j) $$ und
$$ (2) \quad \beta_k = \frac{2}{m} \sum_{j=0}^{m-1} f_j \sin(k x_j) $$
mit \( x_j = \frac{2\pi j}{m} \) sowie \( f_j = f\left(x_j\right) \)
Für \( m \) gilt, ist \( m = 2n \) ist \( \beta_n = 0 \) und \( \alpha_n \) muss halbiert werden.
Für Deinen speziellen Fall betrachte die Funktion \( f(x) = |x-\pi| \), also die um \( \pi \) nach rechts verschobene Betragsfunktion und führe obige Berechnungen aus. Das approximierende Polynom ist dann \( p(x+\pi) \), also die wieder nach links geschobene Betragsfunktion.
Für \( n=3 \) sieht das z.B. so aus
Um die geforderte Genauigkeit zu erreichen habe ich 101 Koeffizienten benötigt. Die größste Ungenauigkeit tritt bei \( t = 0 \) auf.
