Wenn man beweisen soll, dass eine Behauptung für bestimmte n € N gilt, dann versucht man es in der Regel zunächst mit der Beweistechnik der Vollständigen Induktion.
A) Zunächst zeigt man, dass die Behauptung für den ersten Wert gilt, für den sie gelten soll. Das ist vorliegend n = 0. Man zeigt also:
∑ 0 i = 0 x i = ( x 1- 1 ) / ( x - 1)
<=> x 0 = ( x - 1 ) / ( x - 1 )
[Daraus folgt, wegen der Voraussetzung x ≠ 1:]
<=> 1 = 1
(wobei man zweckmäßigerweise annimmt, dass 0 0 = 1 ist, damit die Behauptung auch für x = 0 gilt.)
Das ist eine wahre Aussage und damit ist aufgrund der gezeigten Äquivalenz auch die Behauptung
∑ n i = 0 x i = ( x n + 1 - 1 ) / ( x - 1) für n = 0 eine wahre Aussage.
B) Nun nimmt man an, dass die Behauptung ∑ n i = 0 xi = ( x i + 1 - 1 ) / ( x - 1) für ein beliebiges festes n gilt und zeigt, dass sie dann auch für n + 1 gilt, dass dann also gilt:
∑ n + 1 i = 0 x i = ( x i + 1 - 1 ) / ( x - 1)
[Dazu spaltet man zunächst den letzten Summanden der Summe ab:]
∑ n + 1 i = 0 xi = ∑ n i = 0 x i + x n + 1
[und ersetzt nun ∑ n i = 0 x i durch ( x i + 1 - 1 ) / ( x - 1) (die Gleichheit beider Terme wurde ja vorausgesetzt):]
= ( x i + 1 - 1 ) / ( x - 1) + x n + 1
[Erweitern des letzten Summanden mit ( x - 1 ) ergibt:]
= ( x i + 1 - 1 ) / ( x - 1) + x n + 1 ( x - 1 ) / ( x - 1 )
[Zweiten Summanden ausmultiplizieren und alles auf den gemeinsamen Nenner ( x - 1 ) schreiben:]
= ( x i + 1 - 1 + x n + 2 - x n + 1 ) / ( x - 1 )
[Zähler ausrechnen:]
= ( x n + 2 - 1 ) / ( x - 1 )
q.e.d.
Damit ist wegen des Satzes von der Vollständigen Induktion die Behauptung der Aufgabenstellung für alle x ≠ 1 unjd alle n ≥ 0, n ∈ N gezeigt.
