Diskrete Fouriertransformation mit Vektor und Einheitswurzel

Question

In dieser Aufgabe ist die Diskrete Fourier Transformation gegeben

und ein komplexer Vektor V:

\( V=\left(\begin{array}{l}1 \\ 7 \\ 0 \\ 7 \\ 0\end{array}\right) \)

\( D F T_{N}(V)=\tilde{V}=\left(\widetilde{v_{0}}, \widetilde{v_{1}}, \ldots, \widetilde{v_{N-1}}\right) \)

mit:

\( \hat{a}_{k}=\sum \limits_{n=0}^{N-1} a_{n} \cdot e^{-i \frac{2 \pi}{N} n k} \quad \) für \( k \in\{0, \ldots, N-1\} \)

\( k \in\{0, \ldots, N-1\} \)

Ich weiß leider nicht nicht wie ich die Fourier Transformation anwenden muss auf diesen Vektor.

kann mir da jemand einen Rechenweg mit Erklärung zeigen?

vg coffee.cup

Answer 1

Diskrete Fourier-Transformation:

Sei v(t) ein endliches Zeitsignal für 0 ≤ t ≤ T, welches durch die N Werte { v (t₀), v (t₁), ..., v (t_N−1) } abgetastet ist, mit \( ω =  \frac{2π}{T} \) und \( t_j = j * \frac{T}{N} \) , dann ist die diskrete Fourier-Transformation an den diskreten Stellen m*ω (m = 0,..., N −1) gegeben durch das Skalarprodukt über den Ausgangsvektor \( \vec{v} \) und die konjugiert komplexe Einheitswurzel:

\( \hat{v}_{k}= \frac{T}{N}\sum \limits_{n=0}^{N-1} v_{n} e^{-i 2\pi \frac{nk}{N}} \)

in Matrixschreibweise für N=5 und \( w(n,k) = e^{-i 2\pi \frac{n*k}{5}} \)  :

\( \hat{v} = \frac{1}{5}* \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \\7 \\ 0  \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} w(0,0) & w(1,0) & w(2,0) & w(3,0) & w(4,0)  \\ w(0,1) & w(1,1) & w(2,1) & w(3,1) & w(4,1)  \\ w(0,2) & w(1,2) & w(2,2) & w(3,2) & w(4,2)  \\ w(0,3) & w(1,3) & w(2,3) & w(3,3) & w(4,3) \\ w(0,4) & w(1,4) & w(2,4) & w(3,4) & w(4,4)  \end{pmatrix} \)

\( \hat{v}_{0} = \frac{1}{5}*(1*1 + 7*1 + 0*1 + 7*1 + 0*1 ) = 3 \)

\( \hat{v}_{1} = \frac{1}{5}*(1 + 7*e^{-i 2\pi \frac{1}{5}} + 7*e^{-i 2\pi \frac{3}{5}} )  \)

\( \hat{v}_{2} = \frac{1}{5}*(1 + 7*e^{-i 2\pi \frac{2}{5}} + 7*e^{-i 2\pi \frac{6}{5}} ) \)

\( \hat{v}_{3} = \frac{1}{5}*(1 + 7*e^{-i 2\pi \frac{3}{5}} + 7*e^{-i 2\pi \frac{9}{5}} ) \)

\( \hat{v}_{4} = \frac{1}{5}*(1 + 7*e^{-i 2\pi \frac{4}{5}} + 7*e^{-i 2\pi \frac{12}{5}} ) \)

Comments

Danke erstmal für die ausführliche Antwort :)

Die w(n,k) in jeder Zeile der Matrix wird dann mit jedem Element des Vektors multipliziert?

Wenn ich irgendwas e^i im Taschenrechner eingebe, bekomme ich einen Math-Error. Denke da habe ich was nicht richtig eingestellt. Auf Komplexe Zahlen ist er schon eingestellt.

Wie komme ich dann auf die Werte die bei  v_0 stehen mit der 1?

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\( w(n,k) = e^{-i 2\pi \frac{n*k}{5}} \)

Im Fall n = 0 oder k = 0 ergibt sich e^0, und das ist 1.

\( \hat{v_k} \) ist das Skalarprodukt aus \( \vec{v} \) und der Zeile (k+1) der Matrix.