Unendliche Reihe s= 1+ 4/2! + 9/3! + 16/4! +25/4! +... Konvergenz.

Question

Ich verstehe nicht so ganz wie ich genau eine Reihe auf Konvergenz überprüfe.

Muss ich immer erst den Summenwert bilden und diese dann auf Konvergenz mit einem der Kriterien überprüfen oder reicht das Bildungsgesetz?

Ich verzweifle momentan an folgender Reihe:

s= 1+ 4/2! + 9/3! + 16/4! +25/4! +...

Ich komme auf folgendes Bildungsgesetz: an= n^2/n!

Auf die Formel für den Summenwert komme ich nicht. Es wäre toll, wenn mir jemand die Vorangehensweise einmal an dem Beispiel erläutern könnte.

Comments

Wie kann ich folgende Reihe auf Konvergenz prüfen?

S = 1+ 4/2! + 9/3! + 16/4! + ... + a_n + ...

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Schaue mal hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2B+4%2F2!+%2B+9%2F3!+%2B+16%2F4!+%2B+...

Da kommst du zu einer Vermutung.

Nun musst du noch in deinen Unterlagen einen Weg finden, wie man das begründen könnte.

Musst du nur prüfen oder ausrechnen?

Vgl. auch https://www.mathelounge.de/256078/unendliche-reihe-s-1-4-2-9-3-16-4-25-4-konvergenz

Answer 1

bekanntlich gilt \(e^x=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{x^n}{n!}\) für alle \(x\in\mathbb R\).
Definiere die Funktion \(h\) durch \(h(x)=x^2e^x\). Dann gilt$$\quad (1)\quad h(x)=x^2e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}x^{n+2}$$$$\quad (2)\quad h'(x)=(x^2+2x)e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{n+2}{n!}x^{n+1}$$$$\quad (3)\quad h''(x)=(x^2+4x+2)e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n+1)(n+2)}{n!}x^n$$Es folgt$$2e=4h(1)-3h'(1)+h''(1)=\sum_{n=0}^\infty\frac{n^2}{n!}.$$

Answer 2

Hi,
bin nicht sicher ob ich deine Frage richtig verstanden habe aber falls ja dann:
- deine Idee ist richtig, jetzt sehe was die Reihe macht wenn du große Zahlen einsetzt.
a_n=$$ \frac {n ^2}{n!} $$  = $$ \frac {n *n }{{n}*{(n-1)!}} $$ =  $$ \frac {n }{(n-1)!} $$

gruß momo