Wurzeln komplexer Zahlen in Eulerscher Exponentialform. Bsp. (4 - 4 √(3i) )^{1/3}

Question

Bestimmen Sie

$$\sqrt [ 3 ] { 4 - 4 \sqrt { 3 i } }$$

wobei alle Lösungen in Eulerscher Exponentialform dargestellt werden können.

Comments

Bist du sicher, dass i auch noch unter der Wurzel steht? Ohne wäre die Aufgabe bedeutend einfacher zu lösen...

vgl. meine Antwort.

Anmerkung. Im Formeleditor kannst du mit den Richtungspfeilen aus den Formelstrukturen hüpfen. Wenn du jeweils den Text auch noch in die Fragestellung kopierst, kann man im Nachhinein einfacher korrigieren.

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Dass i ist nicht mehr unter der Wurzel.

Answer 1

 

Vermutlich meinst du:

(4 - 4 √(3) i )^1/3 = (4 (1- √(3) i) )^1/3

1 - √3 i skizzieren und Polarkoordinaten ablesen (Pythagoras anwenden)

r = √4 = 2
phi = arctan (-√3/1) = -60° = -pi/3

1 - √3 i = 2*e^{-ipi/3} 

(4 - 4 √(3) i) )^1/3 = (4 (1- √(3) i) )^1/3 =  (4*2*e^{-ipi/3} )^1/3

= 2* e^{-ipi/9} 

= 2*(cos (-pi/9) + i sin(-pi/9) ) 

=  2*cos (-pi/9) + i 2 sin(-pi/9)

= 1.879 - 0.684 i 

Zweite Lösung

= 2* e^{i(2pi/3 - pi/9)} 

= 2*(cos (2pi/3 - pi/9) + i sin(2pi/3 - pi/9) ) 

=  2*cos (2pi/3 - pi/9) + i 2 sin(2pi/3 - pi/9)

= -0.347 + 1.970 i 

Dritte Lösung

= 2* e^{i(4pi/3 - pi/9) }

= 2*(cos (4pi/3 - pi/9) + i sin(4pi/3 - pi/9) ) 

=  2*cos (4pi/3 - pi/9) + i 2 sin(4pi/3 - pi/9)

= -1.532 – 1.286 i 

Kontrolle https://www.wolframalpha.com/input/?i=%284+-+4+√%283%29i+%29%5E%281%2F3%29

Comments

Wolfram behauptet die dritte Lösung ist negativ. Kommentare dazu ? D:

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bei der dritten Lösung im exponent der exponentialform steht

(4pi/3 - pi/9) wenn ich das zusammenfasse bekomme ich 11pi/9

Wo is mein Fehler ? :o

4/3*pi erweitern auf 12/9*pi - 1/9*pi -> 11/9*pi

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Ich habe ja auch 11pi/9...

Ich rechne lieber in °. 2pi/3 entspricht da 120°.

-20° hat sin neg und cos pos, 100° hat sin pos und cos neg, 220° hat sin neg und cos neg. vgl. auch die Skizze von WolframAlpha.