Wurzeln komplexer Zahlen (Ergänzen Sie den Radius r)

Question

Aufgabe:

Die komplexen Lösungen der Gleichung \( z^{3}=-4-\sqrt{48} \cdot j \) sind \( z_{1}=r \cdot e^{\varphi_{1}}, z_{2}=r \cdot e^{\varphi_{2}} \text { und } z_{3}=r \cdot e^{\varphi_{3}} \).

Ergänzen Sie den Radius r und die Winkel \( \varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3} \).

Beachten Sie bei Ihrer Antwort: \( 0^{\circ} \leq \varphi_{1}<\varphi_{2}<\varphi_{3} < 360^{\circ} \)

Wurzeln komplexer Zahlen (Polar / kartesisch)

Answer 1

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Answer 2

du hast \(z^3=-4-\sqrt{48}\). Hierbei ist \(-4-\sqrt{48}\) einfach nur eine Zahl in den reellen Zahlen. Berechne den Radius r und das Argument \(\varphi\):$$r=|z|=\sqrt{(-4-\sqrt{48})^2}=52$$$$\varphi=\arg(z)=\arccos\left(\frac{-4-\sqrt{48}}{52}\right)≈ 1.783$$ Du hast also:$$z^3=-4-\sqrt{48}=52e^{1.783i}$$ Allerdings ist \(\exp\) nun \(2\pi i\)-periodisch, also:$$z^3=52e^{i(1.783+2\pi k)} \quad \text{ für } k=0,1,2$$ Dann hast du deine drei Lösungen, wenn du noch die kubische Wurzel ziehst.