Komplexe Zahlen, komplexe Lösungen

Question

Aufgabe:

z^4 = −4

Ich soll die Lösungen angeben.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, das Wolfram Alpha mit diese Ergebnisse ausspuckt: sqrt(2) e^(pi)/4, sqrt(2) e^(3ipi)/4, sqrt(2) e^-(3pi)/4,

und sqrt(2) e^-(pi)/4

Ich bekomme aber durch folgende Umformung: -4^(1/4) = 4te sqrt(-1) + 4te sqrt(4) = 2te*2te sqrt(-1) * 4te sqrt(2^2) = sqrt(2i)

dann bekomme ich: r = sqrt(a^2 + b^2) = sqrt(0^2 + (sqrt(2))^2) = sqrt(2)

dann bekomme ich für arctan(b/a) = arctan (0/2) = pi/2

Dann eben mit k= (0,1,2,3) bekomme ich eingesetzt in nte sqrt(z) = r*e^i(phi_0+2kpi)1/n, meine folgenden Lösungen:

sqrt(2)e^i(pi/2+2*0kpi)1/4 usw..... dann mit k =1 und 2 und 3

Was mache ich falsch? Kann mir einer allgemein sagen wie man eine normale Reelle Zahl in Polarkoordinaten angibt? Allgemein und schnell?

Answer 1

Hallo

das ist kaum lesbar, da du auf der Uni bist benutze LaTeX!

1. reelle negative Zahlen haben den Winkel π, also $$-4=4*e^{i\pi+ik*2\pi}$$

eigentlich kann man das in der Gaussschen Zahlenebene sehen. arctan ist nicht eindeutig, man muss also IMMER nachsehen in welchem Quadranten man ist , das gilt auch für andere komplexe Zahlen!

rechne damit und du bekommst die richtigen Ergebnisse, ausserdem kann man das auch am Einheitskreis sehen, wo man die 4 Winkel einzeichnet die man bekommt, wenn man zu -1 die Viertel einträgt.

Gruß lul

Comments

Ach so. Also bspw. -1 wäre 1*e^ipi?

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ja, und lern komplexe Zahlen in der komplexen Ebene zu sehen.

lul

Answer 2

Hallo,

Folgender Weg:

Comments

ou man, das ist wesentlich schneller. Wow. Wusste nicht das ich das einfach so machen darf. Also, wenn ich eine negative Zahl in Polarkoorindaten angeben soll, einfach in Batragstriche setzten und direkt in r = sqrt(...) einsetzten?

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Allgemein:

Der Betrag r  und der Winkel φ von z heissen die Polarkoordinaten von z

Wenn Du diese Angaben hast, benutze die Formel:

\( z=r \cos \varphi+i r \sin \varphi=r(\cos \varphi+i \sin \varphi) \)

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Also ich verstehe das jetzt im nachhinein doch nicht. Wie kommen sie von z^4 zu sqrt(4^2 +0^2) ?

Answer 3

Hallo,

mit Polarform:

\(z^4 = −4 = 4e^{i\pi}~~~;~~~z=r\cdot  e^{i\varphi}   \)

\(r=\sqrt[4]4=\sqrt2\)

\(\varphi_1=\dfrac{\pi}4\)

\(\varphi_2=\dfrac{3\pi}4\)

\(\varphi_3=\dfrac{5\pi}4\)

\(\varphi_4=\dfrac{7\pi}4\)

Oder mit kartesischen Koordinaten:

\(z^4 = −4 \Rightarrow z^2=\pm 2i\)

\(z=x+iy \Rightarrow z^2=x^2-y^2 + 2xy\cdot i \)

\( x^2-y^2 + 2xy\cdot i =\pm 2i\\  \Rightarrow x^2-y^2=0~~~;~~~2xy=\pm 2\)

\(x^2-y^2=0 \Rightarrow x=\pm y\)

\(2xy=\pm 2 \Rightarrow xy=\pm 1\)

Nun gibt es vier Möglichkeiten:

\(x=1; y=1\) oder \(x=-1; y=1\) oder \(x=-1; y=-1\) oder \(x=1; y=-1\)

\( z_1 = 1+ i~~~;~~~ z_2 = -1+i\\ z_3 = -1-i~~~;~~~z_4 = 1-i \)

☺

Comments

Ich verstehe einfach nur nicht wie man darauf kommt das -4 = 4e^ipi ist. Kannst du mir mal ausführlich sagen wie du darauf kommst?

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Hallo,

weißt du denn, was die Polarform einer komplexen Zahl ist?

Guck mal hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

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Ja okay, da steht es auch. Aber trotzdem frag ich mich, was mache ich in meiner Rechnung falsch?

In meiner Version forme ich sqrt(-4) ja einfach nur um. Weil sqrt(-4) = sqrt(2i)

und bei sqrt(2i) ist der Winkel nun mal pi/2 warum kommen aber falsche Ergenisse raus. Bitte helfen sie mir dabei, ich bekomm es einfach nicht hin.

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Ich habe meine Antwort ergänzt.

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Hallo,

du hast ein paar Fehler eingebaut

Weil sqrt(-4) = sqrt(2i)

Nein, die vierte Wurzel aus -4 muss es sein.

bei sqrt(2i) ist der Winkel nun mal pi/2

Das ist auch falsch.

Bei 2i ist der Winkel pi/2.

Bei sqrt(2i) ist der Winkel die Hälfte von pi/2, also pi/4.

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Ja ich meinte auch die 4te Wurzel.

Und das zweite stimmt nicht.

Die Tabelle besagt:

a=0 und b>0 → pi/2

Dass heißt es spielt keine Rolle wie groß bi ist.

Das arctan(b/a) immer eine Zahl durch Null ist, da a=0 ist.

Was bedeutet pi/2 ist korrekt. Und außerdem habe ich korrekte Ergebnisse, meine sind nur vielfache von den eigentlichen Lösungen.

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Hast du meine Ergänzungen in meiner Antwort gelesen?

z1=1+i usw.

Was bedeutet pi/2 ist korrekt. Und außerdem habe ich korrekte Ergebnisse

Na dann ist ja alles gut...

Answer 4

\(z^4 = −4\)

\(z^4 = 4i^2\)

\((z^2)^2 = 4i^2 |±\sqrt{~~}\)

1.)

\(z^2 = 2i| ±\sqrt{~~}\)

\(z_1=\sqrt{2i}\)

Einschub:

\(\sqrt{2i}=\sqrt{1+2i+i^2}=\sqrt{(1+i)^2}=1+i\)

\(z_1=1+i\)

\(z_2=-1-i\)

2.)

\(z^2 = -2i| ±\sqrt{~~}\)

\(z_3 =\sqrt{-2i} \)

Einschub:

\(\sqrt{-2i}=\sqrt{1-2i+i^2}=\sqrt{(1-i)^2}=1-i\)

\(z_3 =1-i \)

\(z_4 =-1+i \)

Comments

Das Wurzelzeichen (und die Wurzelfunktion) ist für nicht-reelle Zahlen nicht definiert, aus gutem Grund. Darum geht es ja auch in der Aufgabe. Diese falschen Schreibweisen sind nicht hilfreich.

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Wolfram sagt dazu:

Das habe ich ja auch gefunden.

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Siehe auch hier:

https://www.mathelounge.de/968454/wurzel-komplexer-zahlen-2i

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Du zitierst eine andere Stelle mit falscher Schreibweise? Aus diesem Forum? Als Legitimation? Meine Güte...

Answer 5

In der Schule haben wir zuerst nur alles in der algebraischen Form gemacht. Erst in der Uni haben wir dann die trigonometrische Form behandelt.

Daher hier wie wir es in der Schule gemacht hätten:

z^4 = -4

mit z = a + b·i

((a + b·i)^2)^2 = -4

(a^2 + 2·a·b·i - b^2)^2 = -4

((a^2 - b^2) + 2·a·b·i)^2 = -4

(a^2 - b^2)^2 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i - 4·a^2·b^2 = -4

a^4 - 2·a^2·b^2 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i - 4·a^2·b^2 = -4

a^4 - 6·a^2·b^2 + b^4 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i = -4

Daraus folgen 2 Gleichungen

a^4 - 6·a^2·b^2 + b^4 = -4

a·b·(a^2 - b^2) = 0 -->  a = 0 oder b = 0 oder a^2 = b^2

für a = 0 oder b = 0 gibt es keine Lösung.

Wir setzen die 2. in die 1. ein.

a^4 - 6·a^2·a^2 + a^4 = -4 --> a = ±1

Damit bekommen wir jetzt die 4 Lösungen

z1 = -1 - i ∨ z2 = -1 + i ∨ z3 = 1 - i ∨ z4 = 1 + i

Comments

Mit etwas weniger Rechenaufwand:
z⁴ + 4 = (z² - 2·z + 2)·(z² + 2·z + 2). Nun zweimal pq-Formel anwenden.