In der Schule haben wir zuerst nur alles in der algebraischen Form gemacht. Erst in der Uni haben wir dann die trigonometrische Form behandelt.
Daher hier wie wir es in der Schule gemacht hätten:
z^4 = -4
mit z = a + b·i
((a + b·i)^2)^2 = -4
(a^2 + 2·a·b·i - b^2)^2 = -4
((a^2 - b^2) + 2·a·b·i)^2 = -4
(a^2 - b^2)^2 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i - 4·a^2·b^2 = -4
a^4 - 2·a^2·b^2 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i - 4·a^2·b^2 = -4
a^4 - 6·a^2·b^2 + b^4 + 2·a·b·(a^2 - b^2)·i = -4
Daraus folgen 2 Gleichungen
a^4 - 6·a^2·b^2 + b^4 = -4
a·b·(a^2 - b^2) = 0 --> a = 0 oder b = 0 oder a^2 = b^2
für a = 0 oder b = 0 gibt es keine Lösung.
Wir setzen die 2. in die 1. ein.
a^4 - 6·a^2·a^2 + a^4 = -4 --> a = ±1
Damit bekommen wir jetzt die 4 Lösungen
z1 = -1 - i ∨ z2 = -1 + i ∨ z3 = 1 - i ∨ z4 = 1 + i