Potenzen komplexer Zahlen. a) (-1+i)10, b)(1-i sqrt3)7, c) (1+i)14 / (√3 - i)7

Question

Bestimmen Sie ohne Rechner die Werte der folgenden Ausdrücke und stellen Sie diese in kartesischer Form und in Polarkoordinaten (bzw. Eulerscher Exponentialform) dar.

 a) (-1+i)¹⁰

b)(1-i sqrt3)⁷

c) (1+i)¹⁴ / (√3 - i)⁷

Answer 1

a) (-1+i)¹⁰       

Polarkoordinaten für die Basis. Skizzieren und ablesen.

-1 + i = √2 * e^i*3pi/4

hoch 10:   (-1 + i)¹⁰ = (√2)¹⁰ * (e^i*3pi/4 ) ¹⁰

          = 2⁵ *e^{i* 30pi/4} = 32*e^i*15pi/2

              |nun darf man im Exponenten modulo 2 pi rechnen.

         = 32*e^3pi/4

             | zurück in die kartesische Darstellung: Wiederum skizieren und ablesen

        = -32i

Kontrolle hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28-1%2Bi%29%5E10++

Bei b) dasselbe Vorgehen. Beachte, die speziellen Sinuswerte von z.B. 30° und 60°.  Dann sollte das lösbar sein.

b)(1-i sqrt3)⁷

Bei c) ist leider eine Klammer im Nenner verrutscht und das Wurzelzeichen scheint eher zu lang zu sein. Die Lösung geht wohl im Prinzip wieder gleich.

Comments

Hallo

Wie kommst du bei a) auf auf alpha=3pi/4? Ich komme da auf: alpha=arcsin(y/r)=45grad=pi/4

gruß

anon

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Habe meinen Fehler gefunden - hatte alpha falsch "abgelesen"

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Das hab ich aus der Skizze: (Achsen noch richtig beschriften!)