z^3 + 27j =0 lösen der Gleichung in Exponentialdarstellung?

Question

Hallo ich habe eine Frage. Ich sitze vor komplexen Zahlen und komme nicht weiter..

ich soll die Gleichung in der Exponentialdarstellung lösen
z hoch 3 + 27j =0

Answer 1

z^3 = -27j

= 27*e^{i3π/2} 

z = ^3 √27 * e^ (i(π3/2 +2kπ)/3)

= 3 * e^  (iπ(3/2 +2k)/3)

z1= 3*e^ (3iπ/6) = 3*e^ (iπ/2) = 3i

z2 = 3*e^ (7iπ/6) = 3*(cos 210° + i sin 210°) = 3* (-√3/2 + i/2)
z3 = 3*e^ (11iπ/6)=3*(cos 330° + i sin 300°) = 3*(√3/2 - i/2)

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3+%3D+-27i

Comments

danke Lu !!! :))
kannst du mir noch sagen warum man da + 2kpi addieren muss

und für k am ende 0, 1, 2 usw einsetzen muss

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2π ist eine ganze Umdrehung um den Ursprung. Man kann so oft um den Ursprung drehen, wie man will. Daher + 2kπ .
Am Ende für k so viele Werte einsetzen bis keine neue Zahlen mehr rauskommen.

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z₂ = -3  ist falsch.

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Danke. Wird noch alles korrigiert.
Resp. Bitte. Sollte jetzt stimmen (?).