Lösung einer Gleichung mittels differenzieren und integrieren. 0= y´ (also erste Ableitung) - 2y.

Question

ich habe eine Gleichung die wie folgt aussieht: 0= y^´ (also erste Ableitung) - 2y. Wie genau kann man diese Gleichung lösen. Ich freue mich auf jede Menge Antworten =) .

Answer 1

0 = y' -2y

2y = y'     | Formal y' = dy/dx schreiben.

2y = dy/dx     | Nun Variabeln trennen. Alle y auf eine Seite und alle x auf die andere. 

          .                       |Fall y≠0. 

2dx = dy/y    | integrieren. 

∫ 2dx = ∫ 1/y dy

2x + C =  ln|y|          |e ^{...}

e^{2x + C} = |y| 

D*e^{2x} = |y|      , D >0 , Betrag weglassen

D*e^{2x} = y        , D ∈ ℝ \ {0}

Nun noch D=0 separat prüfen. 

y = 0

y'=0

y'=2y stimmt auch.

Also

D*e^{2x} = y        , D ∈ ℝ 

Kontrolle: https://www.wolframalpha.com/input/?i=0+%3D+y%27+-2y

Comments

Ja super, ich habe es echt verstanden. Danke an Alle, ich finde es echt klasse wie schnell und kompetent einem hier geholfen wird :) .

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Freut mich. Und gern geschehen!

Answer 2

0 = y' - 2y

y' = 2y

Wir benutzen Trennung der Variablen:
y' / y = 2

=>
Integral von 1/y dy = Integral von 2 dx

<=> ln(y) = 2x + C

<=> y = e^{2x+C}

<=> y(x) = C* e^{2x}

Comments

Bei Trennung der Variablen verwendet man, dass y'/y die Ableitung einer Verketteten Funktion ist.

Answer 3

diese Aufgabe löst Du durch "Trennung der Variablen"

Wenn die Aufgabe so lautet:

0= y' -2y

y'= dy/dx

0= dy/dx -2y

int dy/y=  int 2 dx

ln|y|= 2x +C

y= e^{2x+C}

y= e^{2x} *e^c

e^c= C_1

Lösung:

y=C_1 *e^{2x}

Comments

Ok, erst einmal vielen Dank für die schnellen Antworten. Ich verstehe den Lösungsweg auch, bis auf ein paar Kleinigkeiten. Die erste Frage ist: Warum integrierst du bei diesem Schritt int dy/y=  int 2 dx ? Und warum ist das Ergenbis von int dy/y = ln|y|? Und was genau bedeutet dieser Ausdruck  C_1?

Es wäre super nett von dir, wenn du mir das noch kurz erklären könntest ^^.

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jf111: Integriert wird immer nach der Variabeln hinter dem d. Also bei dy nach y und bei dx nach x und

int dy/y=  int 2 dx

int 1/y  dy =  int 2 dx

C_1 ist eine Integrationskonstante. Grosserloewe hat sie in der Zeile: e^c= C_1

 definiert. Du kannst sie auch D nennen. Marvin hat sie nochmals C genannt, das kann Verwirrung stiften. Zum Schluss ist es einfach schöner, wenn du einen konstanten Faktor dastehen hast, als wenn da ein e^C steht. Wenn ich richtig geschaut habe, sollte das C_1 = D grösser als 0 sein.  EDIT: Mit Berücksichtigung des Betrags bei |y| kann D tatsächlich auch negativ oder 0 sein. 

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Nachtrag: C_1 kann auch negativ und 0 sein. Du hast beim Weglassen der Beträge 2 Schritte zusammen gemacht, was mich oben irritiert hatte. 

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Welches C_1 ist denn negativ und 0?

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Gast: Umgangssprachliches 'und' ist mathematisch ein 'oder'. Falls das deine Frage klärt.