Aufgabe:
Sei \( f(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n} \) mit \( a, a_{n} \in \mathbb{R} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass dann \( f^{(k)}(a)=k ! a_{k} \) für all \( k \in \mathbb{N} \) gilt.
Problem/Ansatz: Ich bin verwirrt, mein erster Ansatz war die ersten Glieder zu bestimmen:
\( f^{(0)}(x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(1)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot a_{n}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(2)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot a_{n+1}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n}\\[10pt] f^{(3)}(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty} n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdot a_{n+2}(x-a)^{n-1}=\sum \limits_{n=0}^{\infty} (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\cdot a_{n+3}(x-a)^{n}\)
Dann war meine Idee x = a zu setzen, was mich nur verwirrt dann würde ja alles wegfallen, da (a-a)^irgendetwas immer 0 ist und dann mal 0, also alles 0. Aber bei der Gleichung was zu zeigen ist würde ja a(k) übrig bleiben, habe ich da einen Denkfehler?
