Aufgabe:
Text erkannt:
Ermittle \( y^{\prime} \) durch logarithmisches Differenzieren: \( y=\sqrt{\frac{(x+5) \cdot(x-2)}{2 x+6}} \) Erkläre den Vorteil von logarithmischem Differenzieren.
Lösung:
\( \begin{aligned} y & =\sqrt{\frac{(x+5) \cdot(x-2)}{2 x+6}} \\ \ln (y) & =\ln \left(\sqrt{\frac{(x+5) \cdot(x-2)}{2 x+6}}\right) \\ \ln (y) & =\frac{1}{2} \cdot(\ln (x+5)+\ln (x-2)-\ln (2 x+6)) \\ \frac{1}{y} \cdot y^{\prime} & =\frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{2 x+6} \cdot 2\right) \\ y^{\prime} & =y \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right) \\ y^{\prime} & =\sqrt{\frac{(x+5) \cdot(x-2)}{2 x+6}} \cdot \frac{1}{2} \cdot\left(\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+3}\right) \end{aligned} \)
Durch Logarithmieren entsteht eine wesentlich einfacher abzuleitende Funktion.
Problem/Ansatz:
Kann jemand erklären, von wo der 2 kommt?
