Zeigen Sie dass die Funktion im R^2 stetig ist. Bsp. f(x,y)= {1 − e^{-xy^2}) / y^2 für y ≠ 0 und f(x,y)=x für y = 0

Question

f(x,y)= {1 − e^{-xy^2} / y² für y ≠ 0

              x für y = 0

(Anmerkung: Die Hoch 2 in e ist bezüglich der Variablen y und ist ein Hoch)

Und die zweite Aufgabe

f(x,y) = { 1-cos(x*y)/y² für y≠0

                 1/2x² für y = 0

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Beweisen, dass die Funktion f(x y) in ganz R^2 stetig ist

Stichworte: analysis,stetigkeit,funktion

f(x,y) = ln(1+x^2y^2)/y^2 für y≠0

x^2 für y = 0

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Ich glaube, es hat sich ein Fehler eingeschlichen.
ln(1+x²*y² )/y² für y≠0 x² für y=0

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Benutze die Potenzreihen von exp & sin.

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Könntest du mir es vorrechnen?

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\(e^{-xy^2}=1-xy^2+{1\over2!}(xy^2)^2-{1\over3!}(xy^2)^3+-\ldots+(-1)^n{1\over n!}(xy^2)^n+\ldots\)

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Das war der Beweis für die Stetigkeit?

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Nein, das ist ein Hilfsmittel für den Beweis, welches du verwenden kannst (bei diesem Beispiel echt empfehlenswert). 

Answer 1

oder war es vielleicht :   Prüfen, ob auf R² stetig ist ?

Dann wäre z.B. die Folge  ( 1; 1/n ) geeignet.  Die geht gegen (1;0) und  f(1;0) = 1

Aber die Folge der Funktionswerte ist

ln ( 1 + 1 + 1/n² ) / (1/n²) = ln( 2 + 1/n² ) * n²

                                                 und das ist ein Produkt, bei dem der eine Faktor gegen ln(2)

und der andere gegen unendlich geht, also :

Grenzwert der Funktionswerte = unendlich und nicht gleich 1.

Also ist f jedenfalls bei (1;0) nicht stetig.

Comments

Ich glaube, es hat sich ein Fehler eingeschlichen. 
ln(1+x²*y² )/y² für y≠0 x² für y=0

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Könntest du diese Aufgabe lösen?

Answer 2

für y ungleich 0 ist ja alles klar.

Für Punkte ( x;0) musst du

lim y -->0 von   ( 1  - e ^-xyy ) / y^2 ) untersuchen.

Der ist von der Form   0 / 0 also mit d ' Hospital betrachtest

du   lim y -->0 von   ( 1  - e ^-xyy ) / y^2 )

      = lim y -->0 von   ( 2xy*e ^-xyy ) / 2y )

= lim y -->0 von   ( 2x*e ^-xyy ) / 2 )    = 2x / 2 = x  = f ( x;0)   also stetig bei (x;0).

Bei dem anderen so ähnlich

lim y -->0 von  1-cos(x*y)/y²      auch Typ 0 / 0

=   lim y -->0 von  x*sin(x*y)   /   2y   immer noch 0/0   also nochmal

=   lim y -->0 von  x^2*cos(x*y)   /   2y    =   x^2 / 2   Passt !

Comments

Es muessen alle Realisierungen des Grenzuebergangs geprueft werden, nicht nur der Uebergang senkrecht zur x-Achse. Das ist also so keine Lösung.

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Oh ja stimmt. Dann muss man wohl doch mit eps - delta rangehen.