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f(x,y)= {1 − e-xy^2 / y2 für y ≠ 0

x für y = 0

(Anmerkung: Die Hoch 2 in e ist bezüglich der Variablen y und ist ein Hoch)




Und die zweite Aufgabe

f(x,y) = { 1-cos(x*y)/y2 für y≠0

1/2x2 für y = 0

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Vom Duplikat:

Titel: Beweisen, dass die Funktion f(x y) in ganz R^2 stetig ist

Stichworte: analysis,stetigkeit,funktion

f(x,y) = ln(1+x^2y^2)/y^2 für y≠0

x^2 für y = 0

Ich glaube, es hat sich ein Fehler eingeschlichen.
ln(1+x2*y2 )/y2 für y≠0x2 für y=0

Benutze die Potenzreihen von exp & sin.

Könntest du mir es vorrechnen?

\(e^{-xy^2}=1-xy^2+{1\over2!}(xy^2)^2-{1\over3!}(xy^2)^3+-\ldots+(-1)^n{1\over n!}(xy^2)^n+\ldots\)

Das war der Beweis für die Stetigkeit?

Nein, das ist ein Hilfsmittel für den Beweis, welches du verwenden kannst (bei diesem Beispiel echt empfehlenswert).

2 Antworten

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oder war es vielleicht :   Prüfen, ob auf R2 stetig ist ?

Dann wäre z.B. die Folge  ( 1; 1/n ) geeignet.  Die geht gegen (1;0) und  f(1;0) = 1

Aber die Folge der Funktionswerte ist

ln ( 1 + 1 + 1/n2 ) / (1/n2) = ln( 2 + 1/n2 ) * n2

und das ist ein Produkt, bei dem der eine Faktor gegen ln(2)

und der andere gegen unendlich geht, also :

Grenzwert der Funktionswerte = unendlich und nicht gleich 1.

Also ist f jedenfalls bei (1;0) nicht stetig.
Avatar von 289 k 🚀

Ich glaube, es hat sich ein Fehler eingeschlichen. 
ln(1+x2*y)/yfür y≠0 xfür y=0

Könntest du diese Aufgabe lösen?

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für y ungleich 0 ist ja alles klar.

Für Punkte ( x;0) musst du

lim y -->0 von   ( 1  - e -xyy ) / y^2 ) untersuchen.

Der ist von der Form   0 / 0 also mit d ' Hospital betrachtest

du   lim y -->0 von   ( 1  - e -xyy ) / y^2 )

= lim y -->0 von   ( 2xy*e -xyy ) / 2y )

= lim y -->0 von   ( 2x*e -xyy ) / 2 )    = 2x / 2 = x  = f ( x;0)   also stetig bei (x;0).

Bei dem anderen so ähnlich

lim y -->0 von  1-cos(x*y)/y     auch Typ 0 / 0

=   lim y -->0 von  x*sin(x*y)   /   2y   immer noch 0/0   also nochmal

=   lim y -->0 von  x^2*cos(x*y)   /   2y    =   x^2 / 2   Passt !

Avatar von 289 k 🚀

Es muessen alle Realisierungen des Grenzuebergangs geprueft werden, nicht nur der Uebergang senkrecht zur x-Achse. Das ist also so keine Lösung.

Oh ja stimmt. Dann muss man wohl doch mit eps - delta rangehen.

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