lösen des gleichungssystems 3*x^2-3*y=0 und 3*y^2-3*x=0

Question

Ich weiß, dass die Antwort (0,0) und (-1,-1) sein muss, jedoch kann man das Gleichungssystem ja nicht einfach auflösen (ohne komplexe Zahlen). Es geht um eine Aufgabe von lokalen Extremwerten einer Funktion f:ℝ²→ℝ mit x→x^3+y^3-3xy.

Ich bekomme auch alles gut hin außer das Gleichungssystem "formell" zu lösen.

Comments

(-1,-1) kann keine Lösung sein.

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Sorry... Ich hatte gerade zwei aufgaben vermischt und vorzeichen vertauscht... Eigentlich meinte ich die Gleichungen 3x^2+3y=0 und 3y^2+3x=0... Die aus der Funktion f(x,y)=x^3+y^3-3xy als ableitung entstehen...

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Kann auch nicht sein.

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In deiner ersten Frage ist eigentlich alles stimmig.

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Also... tut mir leid, ich habe es heute eher nicht so mit Vorzeichen... Wie ich unten nochmals das Problem genauer geschildert habe, war die Ursprüngliche Funktion f(x,y)=x^3+y^3+3xy. Davon muss ich jetzt die lokalen Extremstellen, bzw. kritischen Stellen berechnen. Als Gradienten bekommt man ja folglich (3*x^2+3*y,3*y^2+3*x). Wenn man den jetzt gleich null setzt entsteht das unten beschriebene Problem der Komplexen Zahlen. Jetzt sind die Nullstellen des Gradienten auch (0,0) und (-1,-1)! Danke nochmals und sorry für die Verwirrung...

Answer 1

Ich habe schon einmal durch 3 geteilt

Comments

vielen Dank schonmal für die schnelle Antwort!!!

Wie würde es jetzt aber für die Gleichungen x^2+y=0 und y^2+x=0 (auch schon durch 3 geteilt) aussehen (aus der Funktion f(x,y)=x^3+y^3+3xy)?

Ich hatte leider zwei Aufgaben vermischt und das sehr wichtige Vorzeichen dabei vertauscht... was die Aufgabe ja deutlich vereinfacht hatte!

Weil da kommt man ja zu dem problem, dass man x^2+y=0 zu y=-x^2 umformen könnte, jedoch beim Einsetzen hat man/ich dann Schwierigkeiten ohne das ganze komplex zu machen:

(-x^2)^2+x=0 ⇔ x^4+x=0 ⇔ x^3+1=0 ⇔ x^3=-1

Hier müsste man ja jetzt die dritte Wurzel einer negativen zahl nehmen, was das ganze etwas erschwert...

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Du hast alles richtig umgeformt.

x³ = -1
Hier müsste man ja jetzt die dritte Wurzel einer negativen
zahl nehmen, was das ganze etwas erschwert...

Nö.
³ √ -1 = -1 denn ( -1 ) * (-1 ) * (-1 ) = -1

Taschenrechner (-1)^{1/3} = -1

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Ok, also... nehmen wir an die dritte wurzel aus -1 ist nicht komplex sondern einfach wieder -1... dann wäre ja (0,0) laut dessen nicht Teil der Lösung! Man würde nur (-1,-1) bekommen, oder?

und zweitens... mein Taschenrechner (wolframalpha.com) bekommt da eine komplexe zahl raus:

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Du schriebst
(-x²)²+x=0 ⇔ x⁴+x=0 ⇔ x³+1=0 ⇔ x³=-1

besser
(-x²)²+x = 0
x⁴+x = 0
x * ( x^3 + 1 ) = 0

Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
x^3 + 1 = 0

Desweiteren zum merken :
Im reellen Zahlenbereich

Bei einer 2.Wurzel muß der Radikand positiv sein

Bei einer 3. Wurzel kann der Radikand positiv oder negativ sein
positiver Randikand : positiver Wert
negativer Radikand : negativer Wert

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Das hat jetzt die Frage geklärt. Irgendwie stand ich gerade auf dem Schlauch....

Hat mir sehr geholfen!

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Warum schließt du die Null als Radikanden aus?

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Gast: Richtig beobachtet.

georgborn meinte bestimmt nicht "Bei einer 2.Wurzel muß der Radikand positiv sein "

sondern "Bei einer 2.Wurzel darf der Radikand nicht negativ sein."

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@ ij201
Gern geschehen. Das dir weitergeholfen werden konnte ist ja die Hauptsache.
Dazu ist das Forum ja da.

An die anderen beiden :

meine Antwort war mehr für den Fragesteller gedacht der bei seiner
ersten Fragestellung
- einen positiven Radikanden in der 3.Wurzel und
bei der korrigierten Fragestellung
- einen negativen Randikanden in der 3. Wurzel hatte.

Ich wollte ihm mitteilen das bei der 3.Wurzel wurzelziehen für beides möglich ist.

Die Null habe ich nicht bedacht weil diese im Kontext der Aufgabe
nicht vorkommt.