Ableitungen von f(x) = (x+1)³-1

Question

Hallo Schönen Sonntag :)

Wie kann ich die Ableitungen von f(x)=(x+1)³-1 und (x-1)⁴+2 bilden?Sollte ich die Funktion ganz zerlegen oder wie sollte ich da am besten vorgehen?

Answer 1

Du kannst die Funktion ausmultiplizieren oder Kettenregel anwenden

f(x) = (x + 1)^3 - 1

f'(x) = 3*(x + 1)^2

f''(x) = 6*(x + 1)

Oder bei der anderen

f(x) = (x - 1)^4 + 2

f'(x) = 4*(x - 1)^3

f''(x) = 12*(x - 1)^2

Comments

Wenn ich den Graphen einzeichnen möchte und das Krümmungsverhalten beschreiben soll,kann ich da eine Wertetabelle für die Funktion aufstellen?Dafür brauch ich keine Ableitungen oder?

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Die Krümmung kannst du rein optisch beurteilen. Etwas genauer geht das mit der 2. Ableitung.

x^3 Wechselt die Krümmung im Ursprung. x^4 hat kein Krümmungswechsel. 

Da obige Funktionen nur verschoben sind ist das Verhalten eigentlich bereits aus der Funktionsgleichung ersichtlich.

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x³ hat eine Rechts links Wendestelle richtig?

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Ja genau 

f(x) = (x + 1)³ - 1

Hat daher am Punkt P(-1 | -1) auch einen Rechts-Links-Wendepunkt.

Answer 2

Ausmultiplizieren ist eine gute Übung. Auch um zu begreifen, dass die Kettenregel etwas taugt.

Benutze die Kettenregel

 f(x)=(x+1)³-1 

Innere Funktion u = x+1. u'=1

f(u) = u^3 - 1      | Ableiten nach u und innere Ableitung als Faktor nicht vergessen.

f ' (u) = 3 u^2 * u' + 0

f '(x) = 3(x+1)^2 * 1 + 0

= 3(x+1)^2 

f '(x) = 3(x^2 + 2x +1 )

= 3x^2 + 6x + 3

Sobald du das einige Male ausführlich mit u geschrieben hast, kommst du dann in einem Schritt von der ersten zur zweiten blauen Zeile.

Fortsetzung in grün ist nützlich, wenn du dein Resultat mit der ausmultiplizierten Variante vergleichen willst.

Bei der zweiten nur mal die blaue direkte Variante.

g(x)=  (x-1)⁴+2 

g ' (x) = 4(x-1)^3 * 1 + 0

Achtung: Die innere Ableitung ist nicht immer 1. Daher unbedingt immer MAL u' hinschreiben.

Bsp.

h(x) = (2x+1)^3

h ' (x) = 3(2x+1)^2 * 2 

k(x) = sin(3x)

k ' (x) = cos(3x) * 3 = 3* cos(3x) 

Kontrolle via Ausmultiplizieren. Du kannst dir auch eine geometrische Überlegung für den Faktor u' zurechtlegen. 

Answer 3

Substitution →  (x+1) → z  

z³  -1  =   3* z ²  , 1 fällt raus !

Rücksub.  3* z² =  3  (  x+1) ²  !!