Gauß-Seidel-Verfahren - Untere Dreiecksmatrix hat exakte Lösung von Ax=b

Question

allerseits,

ich muss eine folgende Aussage zeigen:

"Zeigen Sie, dass die untere Dreiecksmatrix einer Matrix die exakte Lösung des Gleichungssystems Ax=b hat, mithilfe des Gauß-Seidel-Verfahrens."

Wie soll ich da vorgehen?

Comments

Da Du die Dir gestellte Aufgabe offensichtlich selber nicht verstehst, solltest eben gerade Du nicht auch noch versuchen, sie zu "verkuerzen" und "zusammenzufassen".

Answer 1

"Zeigen Sie, dass die untere Dreiecksmatrix einer Matrix die exakte Lösung des Gleichungssystems Ax=b hat, mithilfe des Gauß-Seidel-Verfahrens."

Meinst du vielleicht sowas:

"Wenn A eine untere Dreiecksmatrix ist, dann liefert das Gauß-Seidel-Verfahren die (eindeutige) exakte Lösung des Gleichungssystems Ax=b nach einem Iterationsschritt"

Das ist aber schnell klar. Bei der Zerlegung A = L + D + R

in untere strikte Dreiecksmatrix L und obere strikte Dreiecksmatrix R und Diagonalmat. D

Rechnest du wegen  (D+L)*x₁ = b - R*x_o   [und (D+L)^-1  existiert, da das LGS eind. lösbar ist]

doch x1 = (D+L)^-1* ( b - R*x_o )  und wenn R = 0 (das ist ja bei einer unteren Dreiecksmatrix so)

              = (D+L)^-1* b    also unabhängig vom Startvektor nach einem Schritt x bestimmt.