"Zeigen Sie, dass die untere Dreiecksmatrix einer Matrix die exakte Lösung des Gleichungssystems Ax=b hat, mithilfe des Gauß-Seidel-Verfahrens."
Meinst du vielleicht sowas:
"Wenn A eine untere Dreiecksmatrix ist, dann liefert das Gauß-Seidel-Verfahren die (eindeutige) exakte Lösung des Gleichungssystems Ax=b nach einem Iterationsschritt"
Das ist aber schnell klar. Bei der Zerlegung A = L + D + R
in untere strikte Dreiecksmatrix L und obere strikte Dreiecksmatrix R und Diagonalmat. D
Rechnest du wegen (D+L)*x1 = b - R*xo [und (D+L)-1 existiert, da das LGS eind. lösbar ist]
doch x1 = (D+L)-1* ( b - R*xo ) und wenn R = 0 (das ist ja bei einer unteren Dreiecksmatrix so)
= (D+L)-1* b also unabhängig vom Startvektor nach einem Schritt x bestimmt.