Periodizität f(x) = |sin(3*pi*x) cos((pi*x)/2)|

Question

Habe eine Funktion die ich auf Periodizität prüfen soll. Habe auch die komplette Lösung aber einige Schritte sind mir unklar. Die aufgabe lautet:

Ermitteln Sie explizit (also unter der Verwendung der Additiontheoreme die Grundperiode p der Funktion:

f(x) = |sin(3*pi*x) cos((pi*x)/2)|     x ist element von den reellen Zahlen

und begründen sie in ihrer Rechnung exakt die wahl von p.

Die lösung lautet:

1.: Nach den ersten 3 Zeilen wurden die Additionstheoreme angewand.Dort verstehe ich aber nicht wieso unter anderem cos(3*pi*p) 1 sein soll.
Die andere 1 und die zwei nullen sind mir auch nicht klar.

2.: Was daraus folgt ist mir auch nicht klar in den nächsten zeilen.Kann mir jemand erklären wie dort vorgegangen worden ist?

Vielen Dank

Answer 1

f(x + p) = f(x)

soll ja erfüllt sein also die Zeile darunter. Im Grunde macht man dort jetzt einen Termvergleich.

SIN(3·pi·(x + p))·COS(pi·(x + p)/2) = SIN(3·pi·x)·COS(pi·x/2)

SIN(3·pi·x + 3·pi·p)·COS(pi·x/2 + pi·p/2) = SIN(3·pi·x)·COS(pi·x/2)

(SIN(3·pi·x)·COS(3·pi·p) + COS(3·pi·x)·SIN(3·pi·p))·(COS(pi·x/2)*COS(pi·p/2) - SIN(pi·x/2)*SIN(pi·p/2)) = SIN(3·pi·x)·COS(pi·x/2)

Verleiche

(SIN(3·pi·x)·COS(3·pi·p) + COS(3·pi·x)·SIN(3·pi·p))·(COS(pi·x/2)*COS(pi·p/2) - SIN(pi·x/2)*SIN(pi·p/2)) = SIN(3·pi·x)·COS(pi·x/2)

Günstig wäre jetzt also wenn das was zusätzlich dort steht einfach verschwindet. Wann passiert denn das?

Achtung: x ist eine Variable und wenn die Variable sich ändert dann auch Terme bezüglich dieser Variablen. p ist allerdings konstant und damit unveränderlich.

Comments

Also um die Gleichheit zu zeigen behauptet man das diese terme 0 bzw. 1 sind und das damit  sin(3*pi*x) * cos((pi*x)/2) übrig bleibt.

Den Warnhinweis das x eine variable ist und p eine konstante hab ich nicht verstanden.

Warum pickt man sich jetzt   sin(3*pi*p) und sin((pi*p)/2)  heraus?

Warum nicht COS(3·pi·x) und SIN((pi·x)/2) ?

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Weil nur SIN(3*pi*p) eine feste Zahl ist, die sich nicht ändernt.

COS(3·pi·x) ändert sich ja eh immer und kann dann nur für ein spezielles x 0 oder 1 werden. Der Zusammenhang soll aber genau für alle x erfüllt sein.

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Habe noch eine frage.

wieso wähle ich danach 2k=p aus und nicht k/3=p ?

Ich dachte die kleinste periode p > 0  ist die Grundperiode.