Ausdruck 3sin x + 2sin(x+pi/3) auf einen Term der Form a*sin(x+b) bringen

Question

Ich soll 3sin x + 2sin(x+pi/3) auf einen Term der Form a*sin(x+b) bringen. Ohne Faktor 3 & 2 kenne ich mich aus : sin x + sin y = 2sin((x+y)/2) cos ((x-y)/2). Aber mit??

Comments

Vielleicht kommt die Erleuchtung vom Resultat?

WolframAlpha kann das und kommt auf √19 sin(x + arctan (√3/4))

https://www.wolframalpha.com/input/?i=+3sin+x+%2B+2sin%28x%2Bpi%2F3%29+

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Ehrlich gesagt nicht :( Aber gut, das dus gepostet hast, weil ich da selber schon nachgeschaut habe. Aber auf den arctan wûsste ich nicht wie ich draufkomme. Edit: auch bei den anderen Beispielen ist der arctan teil der Lösung. Hm

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Eine goniometrische Gleichung kann gut auf arctan führen. Bsp.

3sinx = 2cosx

tanx = 3/2

x = arctan (3/2)

Answer 1

   3·sin(x) + 2·sin(x + π/3)
= 3·sin(x) + 2·(sin(x)·cos(π/3) + cos(x)·sin(π/3))
= 4·sin(x)  + √3·cos(x).

Es gelte  4·sin(x) + √3·cos(x) = a·sin(x + b) = a·sin(x)·cos(b) + a·cos(x)·sin(b).
Koeffizientenvergleich liefert
(1)  4 = a·cos(b)
(2)  √3 = a·sin(b)
Division liefert  √3/4 = tan(b) , also ist  b = arctan(√3/4).
Aus (2)  folgt
√3 = a·sin(b) = a·sin(arctan(√3/4)) = a·sin(arcsin(√3/4 / √(1 + (√3/4)²)))) = a·√(3/19).
Daraus folgt  a = √19.