LinA. Stimmt " Sind v1 und v2 linear abhängig, so sind auch Av1 und Av2 linear abhängig."?

Question

koennte mir jemand diese Aufgaben loesen? oder mir zeigen wie man so etwas loest und im Endeffekt beweist ggfs. widerlegt? Danke für die Hilfe



Sei nun A eine Matrix aus R2;2 und seien ~ v1; ~ v2 Vektoren aus R2. Beweisen oder widerlegen
Sie folgende Aussagen:
(i) Sind ~v1 und ~v2 linear abhängig, so sind auch A~v1 und A~v2 linear abhängig.
(ii) Sind A~v1 und A~v2 linear abhängig, so sind auch ~v1 und ~v2 linear abhängig.
(iii) Sind A~v1 und A~v2 linear unabhängig, so sind auch ~v1 und ~v2 linear unabhängig.
(iv) Sind ~v1 und ~v2 linear unabhängig, so sind auch A~v1 und A~v2 linear unabhängig.

Answer 1

(i)  Seien  u,v ∈ ℝ²  linear abhängig und  A  eine relle  2×2-Matrix. Es gibt  m,n ∈ ℝ  mit  m·u + n·v = 0. Multiplikation mit  A  ergibt  A·(m·u + n·v) = A·0, also  m·(A·u) + n·(A·v) = 0, d.h.  A·u  und  A·v  sind linear abhängig.

(ii)  Wähle für  A  die Nullmatrix. Dann sind  A·u = 0  und  A·v = 0  für alle  u,v ∈ ℝ²  linear abhängig. Aber nicht alle Vektoren  u  und  v  sind linear abhängig.