Nilpotente Endomorphismen f:K4→K4 klassifizieren. Alle Partitionen der Zahl 4.

Question

ich bräuchte Hilfe bei meiner Aufgabe.

Ich sollte alle Partitionen der Zahl 4 bestimmen, das habe ich gemacht. Nun soll ich alle nilpotenten Endomorphismen f:K⁴→K⁴ (bis auf Ähnlichkeit) klassifizieren.

Leider verstehe ich die Aufgabe nicht wiklich. Was genau muss ich hier machen bzw. wie gehe ich hier vor?

Bin für jeden Ansatz dankbar.

Answer 1

sei  N  ein nilpotenter Endomorphismus. Bekanntlich sind alle Eigenwerte von  N  gleich Null.  N  ist ähnlich zu seiner Jordannormalform. In diesem Fall gibt es davon bis auf Permutationen  5  verschiedene:

Die Anzahl entspricht gerade der der verschiedenen Partionen der Zahl  4.
(1)  4 Einerblöcke -->  4 = 1 + 1 + 1 + 1
(2)  2 Einerblöcke & 1 Zweierblock --> 4 = 1 + 1 + 2
(3)  1 Einerblock & 1 Dreierblock --> 4 = 1 + 3
(4)  2 Zweierblöcke --> 4 = 2 + 2
(5)  1 Viererblock --> 4 = 4