Antwort mit KI erzeugt
Beweis der Äquivalenz von (a) und (b) zu nilpotenten Endomorphismen:
Um die Äquivalenz der beiden Aussagen zu beweisen, betrachten wir die Voraussetzung, dass \(f: V \rightarrow V\) ein nilpotenter K-linearer Endomorphismus des endlich-dimensionalen K-Vektorraum \(V\) ist, und die Tatsache, dass eine nilpotente lineare Abbildung nach einer endlichen Anzahl von Iterationen das Null-Element ergibt. Das bedeutet, es existiert ein \(n \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(v \in V\) gilt: \(f^n(v) = 0\).
Zu zeigen ist die Äquivalenz von:
(a) Die \(v_i\) sind die Hauptvektoren der Ordnung \(m\) einer \(f\)-zyklischen Zerlegung des Vektorraum \(V\).
(b) Die Bilder der \(v_i\) bei der natürlichen Abbildung \(\rho: V \rightarrow V' := V/\ker(f)\) sind die Hauptvektoren der Ordnung \(m-1\) einer \(f'\)-zyklischen Zerlegung von \(V'\).
Beweisrichtung (a) \(\Rightarrow\) (b):
1. Angenommen, die \(v_i\) sind Hauptvektoren der Ordnung \(m\) einer \(f\)-zyklischen Zerlegung von \(V\), dann existiert für jedes \(i\), eine Sequenz \(v_i, f(v_i), \ldots, f^{m-1}(v_i)\) in \(V\), mit \(f^m(v_i) = 0\).
2. Betrachten wir die natürliche Abbildung \(\rho: V \rightarrow V' = V/\ker(f)\). Die Bildung dieses Quotientenvektorraums identifiziert die Elemente im Kern von \(f\) mit dem Nullvektor in \(V'\).
3. Für jedes \(i\), \(\rho(f^{m-1}(v_i))\) ist wohldefiniert in \(V'\), da \(f^{m-1}(v_i)\) nicht notwendigerweise in \(\ker(f)\) liegt, aber \(f^m(v_i)\) gehört zum Kern von \(f\), da \(f\) nilpotent ist und somit \(f^m(v_i) = 0\). Daher sind die Bilder \(\rho(v_i), \rho(f(v_i)), \ldots, \rho(f^{m-2}(v_i))\) wohldefiniert und linear unabhängig in \(V'\), und bildet eine \(f'\)-zyklische Zerlegung von \(V'\), wobei \(f^{m-1}(v_i)\) nun das Null-Element in \(V'\) ergibt.
4. Weil diese Vektoren eine \(f'\)-zyklische Zerlegung von \(V'\) bilden und die Ordnung nun \(m-1\) ist (da wir das letzte Element \(f^{m-1}(v_i)\) betrachten, welches in \(V'\) als Null behandelt wird), erfüllen sie Bedingung (b).
Beweisrichtung (b) \(\Rightarrow\) (a):
1. Angenommen, die Bilder \(v_i'\) der \(v_i\) in \(V'\) sind Hauptvektoren der Ordnung \(m-1\) einer \(f'\)-zyklischen Zerlegung von \(V'\). Dann existiert eine Sequenz \(v_i', f'(v_i'), \ldots, f'^{m-2}(v_i')\) in \(V'\).
2. Da \(V' = V/\ker(f)\) und das Diagramm kommutativ ist, folgt, dass die Vektoren \(v_i, f(v_i), \ldots, f^{m-2}(v_i)\) in \(V\) dieselbe Rolle spielen, indem sie äquivalente Sequenzen in \(V\) erzeugen, wobei jeder Vektor \(f^k(v_i)\) direkt auf sein Bild \(\rho(f^k(v_i)) = f'^k(v_i')\) in \(V'\) abgebildet wird. Dies impliziert, dass \(f^{m-1}(v_i)\) im Kern von \(f\) liegt.
3. Damit sind die \(v_i\) effektiv Hauptvektoren der Ordnung \(m\) für die \(f\)-zyklische Zerlegung von \(V\), weil sie eine Sequenz erzeugen, die beim \(f^m\) verschwindet (da \(f^{m-1}(v_i) \in \ker(f)\) und daher \(f^m(v_i) = 0\)).
Zusammenfassung:
Indem man die Verbindung zwischen den \(v_i\) in \(V\) und ihren Bildern in \(V'\) betrachtet, ebenso wie die Auswirkungen der nilpotenten Abbildung \(f\), kann die Äquivalenz der zwei gegebenen Bedingungen nachgewiesen werden. Die Schlüsselidee liegt in der Beziehung zwischen dem Kern von \(f\) und der Konstruktion von \(V'\) als Quotientenraum, der eine verminderte Ordnung im Kontext der \(f'\)-zyklischen Zerlegung verursacht.
