Aufgabe:
Sei \( U \) ein \( K \)-Vektorraum mit \( \operatorname{dim} V=n<\infty \). Sei \( \theta: U \rightarrow U \) ein beliebiger Endomorphismus und sei \( \psi: U \rightarrow U \) ein nilpotenter Endomorphismus, d.h. es gilt \( \psi^{k}=\mathbf{0} \) fir ein \( k \in \mathbb{N} \). Wir setzen voraus, dass \( k \) minimal mit dieser Eigenschaft ist.
(a) Beweisen Sie, dass \( \theta^{\ell+1}(U) \) ein Untervektorraum von \( \theta^{\ell}(U) \) für alle \( \ell \in \mathbb{N} \) ist.
(b) Nach (a) können wir die folgende Kette von Untervektorräumen betrachten:
\( U \supseteq \psi(U) \supseteq \psi^{2}(U) \supseteq \cdots \supseteq \psi^{k}(U)=\left\{0_{U}\right\} . \)
Beweisen Sie, dass jeder nächste Untervektorraum in dieser Kette strikt kleiner ist als der vorherige:
\( V \supsetneqq \psi(U) \supsetneqq \psi^{2}(U) \supsetneqq \cdots \supsetneqq \psi^{k}(U)=\left\{0_{U}\right\} . \)
Leiten Sie daraus ab, dass \( k \leqslant n \) ist.
(c) Nach dem Ergänzungssatz existiert eine Basis \( v=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right) \) von \( U \) und ein \( 0 \leqslant t<n \), so dass \( \left(v_{t}, v_{t+1}, \ldots, v_{n}\right) \) eine Basis von \( \psi(U) \) ist.
Berechnen Sie die ersten \( (n-t) \) Zeilen der Darstellungsmatrix \( [\psi]_{v}^{v} \).
(d) Beweisen Sie, dass es eine Basis \( v \) von \( U \) gibt, so dass die Darstellungsmatrix \( [\psi]_{v}^{v} \) eine untere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonale ist:
\( [\psi]_{v}^{v}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & \ldots & 0 \\ * & 0 & \ldots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ * & \ldots & * & 0 \end{array}\right) . \)
