Basis von V, bezüglich welcher die Matrix eine obere Dreiecksmatrix ist

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3. Aufgabe: (4 Punkte)

Seien \( V \) ein \( K \)-Vektorraum der Dimension \( n \) und \( f: V \rightarrow V \) ein Endomorphismus. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind.
(a) Es gibt eine Basis \( \mathcal{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\} \) von \( V \), bezüglich welcher die Matrix von \( f \) eine obere Dreiecksmatrix \( A \) ist, d.h. \( A=\left(a_{i j}\right) \) mit \( a_{i j}=0 \) für \( i>j \).

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Comments

Gibt es vielleicht eine Aussage b?

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Vermutlich soll man nicht nur zeigen, dass diese Aussage äquivalent zu sich selbst ist, sondern auch noch zu einer anderen.

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Wo es a) gibt, gibt es mindestens auch ein b).

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ja gibt es.

Text erkannt:

(b) Es gibt Untervektorräume \( V_{1} \subseteq V_{2} \subseteq \ldots \subseteq V_{n} \) von \( V \) mit \( f\left(V_{i}\right) \subseteq V_{i} \) und \( \operatorname{dim} V_{i}=i \) für \( i=1, \ldots, n \).
(Man nennt eine solche Kette von Untervektorräumen eine vollständige Fahne von \( V \).)

Answer 1

(a) ==>  Sei \( V_{1} \) der von \(  \mathbf{v}_1  \) erzeugte Unterraum von V.

Wenn \( A=\left(a_{i j}\right) \) die Matrix von \( f \) bzgl. \( \mathcal{B}=\left\{\mathbf{v}_{1}, \ldots, \mathbf{v}_{n}\right\} \)

und eine obere Dreiecksmatrix ist,

folgt also  \( f(v_1)=a_{1,1}\cdot \mathbf{v}_1 \) somit \( f\left(V_{1}\right) \subseteq V_{1} \) und \( \operatorname{dim} V_{1}=1 \)

Entsprechend für \( V_{2} \) dem von \(  \mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2\) erzeugten Unterraum von V folgt:

\( f(v_1)=a_{1,1}\cdot \mathbf{v}_1 \) und   \( f(v_2)=a_{1,2}\cdot \mathbf{v}_1 + a_{2,2}\cdot \mathbf{v}_1 \)

somit \( f\left(V_{2}\right) \subseteq V_{2} \) und \( \operatorname{dim} V_{2}=2 \). etc.

Umgekehrt, wenn du so eine vollständige Fahne von \( V \) hast, dann wähle als \(  \mathbf{v}_1 \) eine Basis von \(  V_{1} \)  und ergänze diese durch \(  \mathbf{v}_2 \) zu einer Basis von \(  V_{2} \) etc.

Das geht immer so weiter, wegen der Vorgabe über die Dimensionen und

es entsteht eine obere Dreiecksmatrix weil immer \( f\left(V_{i}\right) \subseteq V_{i} \),

also die Bilder der jeweiligen Basisvektoren immer nur durch die vorigen Basisvektoren dargestellt werden.