Wie löst man die quadratische Gleichung
g ( x ) := x ² - 12 x + 32 = 0 ( 1 )
Und zwar machen wir das zur Abwechslung mal ganz ohne Mitternachtsformel mit voll primitiver Zahlenteorie. Schau mal, was Pappi alles weiß:
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Aber die Behauptung des Wikiautors, der SRN gehe auf Gauß zurück, hält bereits einfacher Nachprüfung nicht stand. Gauß ist doch Kult; wieso hat dein Lehrer noch nie vom SRN vernommen? In einem Kommentar erfuhr ich gar, ein Assistent habe sich höchlichst verwundert gezeigt ...
Wiki selbst kennt keine Quelle vor 2005, dem wahrscheinlichen Entdeckungsjahr.
Ein seriöses Zitat wäre beispielsweise ===> v.d. Waerden ( 1930 )
Gleich in der Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, gelangen mir drei Entdeckungen, von denen uns im Folgenden zwei zu beschäftigen haben: meine beiden pq-Formeln so wie der gkt eines Polynoms.
Ich setze darauf, dass Schulaufgaben immer in rationale Lösungen zerfallen.
x1;2 := p1;2 / q1;2 ( 2a )
In ( 1 ) werde die ===> primitive Form des Polynoms voraus gesetzt ( ganzzahlig gekürzt ) Dann gelten die beiden pq-Formeln
p1 p2 = a0 = 32 ( 2b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 2c )
( 2c ) natürlich im Einklang mit dem SRN , der für ein normiertes Polynom ganzzahlige Wurzeln vorher sagt.
Und Gauß sollte die Bedeutung hinter ( 2bc ) nicht erkannt haben? Und in den vergangenen 200 Jahren sollte ich Tatsache der erste sein, der diesen Geistesblitz hatte? Voll abwegig - der Stoff, aus dem Fälschungen sind.
Du hast verstanden, dass wir hier sämtliche Zerlegungen des Absolutgliedes 32 raten müssen. Das wären an sich nur 3 Stück; also nicht die Welt. Aber warum? Was doch nahe liegt: zu fragen, was ist der ggt der beiden Wurzeln? Antwort; sei m ein Teiler. Dann folgt aus dem ===> Vieta von ( 1 )
m | x1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 3a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 3a ) befriedigt, wollen wir K-Teiler des Polynoms g in ( 1 ) nennen ( K wie Koeffizient ) Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; in unserem Fall offenbar 4 .
Meine Entdeckung des gkt versetzt dieser Gauß Connection endgültig den Todesstoß; Gauß, dem Entdecker von Teilerbeziehungen, die unsereins nicht mal versteht, sollte der gkt nicht aufgefallen sein ( und niemandem seit Gauß bis zu mir ) ?
ein Polynom lässt sich genau so durch seinen gkt kürzen, wie du das bei Brüchen mit dem ggt ja auch machen würdest - und zwar vermittels der Substitution
x =: u * gkt ( g ) = 4 u ( 3b )
( 3b ) ein füttern in ( 1 )
g ( u ) = ( 4 u ) ² - 3 * 4 ( 4 u ) + 2 * 4 ² = ( 3c )
= 4 ² ( u ² - 3 u + 2 ) ( 3d )
Und - oh Wunder - die 2 stellt sich als Primzahl heraus ( Anmerkung: Mein Gewährsmann, von dem ich im Jahre 2011 erstmals vom SRN erfuhr und der seinerseits von Gauß nichts weiß, gab in seinen Kommentaren deutlichst zu erkennen, dass er ( auf unseren Fall übertragen ) sämtliche Zerlegungen der 32 für Wahrscheinlich hält - er kannte den gkt noch nicht. )
Allerdings bleibt eine Zweideutigkeit des Vorzeichens bestehen, weil ja Minus Mal Minus auch Plus ergibt. Hier hilft die cartesische Vorzeichenregel weiter:
" Zwei Mal Plus "
0 < x1 < = x2 ( 4a )
u1 = 1 ; u2 = 2 ( 4b )
x1 = 4 ; x2 = 8 ( 4c )
Ist diese Bedingung schon hinreichend? Nein; denn wo steht, dass Ansatz ( 2a ) erfüllt ist? Der Koeffizient pü ist ja gar nicht eingeflossen in unsere Probe.
Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Satz von vieta in ( 1 )
p = x1 + x2 ( 5 )
Naa stimmt's ?
