Zusammenhang Baumdiagramm von (a+b)^4 mit den binomischen Formeln

Question

Untersuche den Zusammenhang mit den binomischen Formeln: Das Baumdiagramm rechts lässt sich wie folgt interpretieren:

Um (a+b)^4 auszurechnen muss man die Klammern (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) ausmultiplizieren.

Welcher Zusammenhang zu einem Bernoulliversuch besteht?

Ich verstehe nicht was ich hier tun soll.

Answer 1

(a+b)^4
= (a+b)^2 * (a+b)^2
= (a^2 + 2ab + b^2) * (a^2 + 2ab + b^2)

= 1a^4 + 4a^{3}b + 6a^{2}b^2 + 4ab^3 + 1b^4

Zusammenhang mit einem Bernoulliversuch.

Es gibt nur einen Pfad in dem 4 a's vorkommen. (aaaa)
Es gibt 4 Pfade in dem 1 a und 3 b's vorkommen. (abbb, babb, bbab, bbba)
Es gibt 6 Pfade in dem 2 a's und 2 b's vorkommen. (aabb, abab, abba, baab, baba, bbaa)
Es gibt 4 Pfade in dem 3 a's und 1 b vorkommen. (aaab, aaba, abaa, baaa)
Es gibt nur einen Pfad in dem 4 b's vorkommen. (bbbb)

Comments

Schön! Du hast noch einen Caret-Konflikt in der Formel.

 

= 1a⁴ + 4a³ b + 6a² b^2 + 4ab³ + 1b⁴

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Danke für den Hinweis. Ist korrigiert.

Answer 2

Um (a+b)⁴ auszurechnen mus man die Klammern (a+b)(a+b)(a+b)(a+b) ausmultiplizieren.

Das gibt a*a*a*a + a*a*a*b + a*a*b*a + a*a*b*b + a*b*a*a + a*b*a*b + …

Eigentlich ist es kein Problem alle möglichen Summanden systematisch aufzuschreiben und dann zusammenzufassen.

Aber es geht auch direkter:

Die Summanden erhalten von jeder Klammer je einen Faktor a oder b. Unabhängig davon, was vorher oder nachher kommt. (Das ist wohl der Zusammenhang zum Bernoulliversuch, der hier gemeint ist). Nun kannst du in deinem Baumdiagramm die Blätter der Reihe nach mit aaaa, aaab, aaba,… anschreiben und das mit der Aufzählung oben vergleichen.

Es kommt jede denkbare Reihenfolge genau einmal vor. Man kann für die verschiedenen Anzahlen die 4. Zeile des Pascaldreiecks benutzen.

Deshalb gibt es (4 tief 0) = 1 Summanden, der kein b enthält: 1*a^4

(4 tief 1) = 4 Summanden, die genaue ein b enthalten: 4*a^3 b

(4 tief 2) = 6 Summanden, die genaue zwei b enthalten: 6*a^2 b^2

(4 tief 3) = 4 Summanden, die genaue drei b enthalten: 4*a b^3

(4 tief 4) = 1 Summanden, die genaue vier b enthalten: 1* b^4

 (a+b)⁴ =1 a^4 + 4a^3 b + 6 a^2 b^2 + 4 a b^3 + 1 b^4