Differentialgleichung; y'=2y

Question

ich kenne die Lösung für die Differentialgleichung y'=2y , die lösung ist y=c*e^2x.
Jedoch weiß ich nicht wie die 2 in die Potenz des e kommt. Meine Lösung auf dem Zettel ist 2*c*ex

Rechenweg:

dy/dy = 2y
dy/2y = dx

Integrieren

ln(2y) = x + c

umstellen

2y = c*e^x
y= 2*c*e^x

Answer 1

y'= 2y

y'=dy/dx

dy/dx= 2y

dy/y=2 dx

ln|y|= 2x +c

y=e^{2x+C}

y=e^{2x} *e^{C}

e^{C}=C_1(Es wird eine neue Konstante definiert)

y= C_1 *e^{2x}

Comments

Natürlich, ich brauch die Konstante ja gar nicht unters dy ziehen. Super danke.

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dy/dx= 2y

dy/y=2 dx

ln|y|= 2x +c

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Wie in meiner Antwort bemerkt, ist dies Vorgehensweise mathematisch unkorrekt.

Die Integration erfolgt nicht allein durch das "Schlangen-S", sondern es wird eine Funktion bzw. hier eine komplette Gleichungsseite mit $$ \int \quad [funktion] \quad dx$$

umschlossen.

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die allgemeine Lösung ist y = k * e^{2x} mit k aus IR

Deine Konstante c1 ist immer positiv!

Man darf also nicht einfach den Betrag unterschlagen (vgl. weiter unten)!

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Kannst du mir helfen bei berechnung von termen 8 klasse

danke

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Kannst du mir helfen bei berechnung von termen 8 klasse 

Was soll das hier in diesem Thread ?!!

Answer 2

Hi,

du hast links falsch integriert. Mal ganz abgesehen davon, hast du hinterher auch noch die Gleichung nach \(y\) falsch umgestellt.

Nach dem Integrieren müsstest du stehen haben:

$$ \frac{1}{2}\ln|y| = x + c $$

Gruß

Comments

Nach dem Integrieren müsstest du stehen haben:

$$  \frac 12 \ln (y)= x+c$$

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Darf ich bemerken, dass diese Aussage nicht ganz korrekt ist ?!

Leider etwas umständlich - würde ich nicht so machen, weil man ja das Üpsilon sauber dastehen haben will.

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Klar darfst du, habe die Betragstriche unterschlagen. Danke ist berichtigt.

Answer 3

Zunächst berichtige ich mal den völlig unwesentlichen Tippfehler des Fragestellers:
$$dy/dy = 2y $$
zu
$$ \frac{dy}{dx} = 2y  $$
Trennung der Variablen:
$$\frac 1y \cdot \frac{dy}{dx} = 2  $$
und nun wird nicht, wie in fast allen Mathebüchern erklärt, das dx nach rechts multipliziert und anschliessend das Integralzeichen vornedrangesetzt, sondern  beide Seiten der Gleichung kommen unter die Behandlung von $$\int \cdots dx$$
$$ \int \quad \frac 1y \cdot \frac{dy}{dx} \quad  dx=  \int \quad 2   \quad  dx$$
nun kürzen sich die Differentialqutienten auf der linken Seite und es entsteht:
$$ \int \quad \frac 1y  \quad  dy=  \int \quad 2   \quad  dx$$
Jetzt kann die Inegration durchgeführt werden
nun kürzen sich die Differentialqutienten auf dr linken Seite und es entsteht:
$$ \ln |y|  \quad = 2   \quad  x  \quad +C$$
beide Seiten werden zu Exponenten der e-Funktion:
$$ e^{(\ln |y|)}  \quad = e^{(2  x  +C)}$$
$$ y  \quad = e^{(2  x  )} \cdot e^{(C)}$$

Comments

Deine allgemeine Konstante e^c wäre also nur positv!

|y| = e^{2x} *e^c , dann muss man nur noch die Konstante 0 verifizieren und hat

y= k * e^{2x} mit k aus IR

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@ Wolfgang

Der Sultan sprach zu seinen Weibern: Man kann auch alles übertreibern!

$$ e^{\ln |y|}  \quad = e^{(2  x  +C)}$$
$$ |y | \quad = e^{(2  x  )} \cdot e^{(C)}$$
$$ |y | \quad = e^{(2  x  )} \cdot D$$
Fallunterscheidung:
$$$$
positives Üpsilong
$$ y  \quad = e^{(2  x  )} \cdot D$$
negatives Üpsilong
$$ -y  \quad = e^{(2  x  )} \cdot D$$
$$ y  \quad = e^{(2  x  )} \cdot D \cdot (-1)$$
Im Fall II darf man also die positive Konstante D mit Minuseinz multiplizieren, um auch den Bereich negativer Üpsilöner abzudecken ... oder man nimmt eben eine negative Konstante und multipliziert nicht mit Minuseinz.
$$$$
DAS ist allerdings wirklich völlig unnötig das so auszuführen und dient lediglich der Verwirrung!

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Die Unterlassung von "Übertreibungen" - und du hast es wirklich übertrieben :-)  -

sollte aber nicht zu falschen Ergebnissen führen.

Und dein Ergebnis war falsch und deshalb zu korrigieren!

(Wo ist das Problem? Ich bezweifle keineswegs, dass du das kannst!!)

Answer 4

Korrekter sieht das Ganze - in Kurzfassung - so aus:

y' = 2y

dy/dx = 2y

dy/y = 2dx | Integrieren

ln(|y|) = 2x + c | e^{...}

|y| = e^{2x+c}

y = e^c * e^{2x}  oder y= -e^c * e^{2x}

y= k * e^{2x} mit k aus IR\{0}

Da y = 0 die DGL trivialerweise ebenfalls löst:

allgemeine Lösung:  y = k * e^{2x}  mit k aus IR

Comments

In Zeile 4 steht rechts dx statt x

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EDIT: Habe das fehlende d oben eingefügt.