Lineare Abbildungen. L(x^2 + x) = x+1, ... Alle Bilder addieren und dann?

Question

Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe c)

Ich habe Probleme bei der Herangehensweise, weil es keine Matrix gibt.
Mein Lösungsansatz wäre alle Bilder von L zu addieren und schauen, wenn das ganze nicht gilt. Ist das so korrekt?
Es gilt dann: L (2x² + 2x +2) = -x² +6x +5
Mir scheint, dass es kein Element aus R₂ gibt, dass nicht in diesem Bild liegt.

Answer 1

Das Bild von L wird durch die Polynome

x+1    und   5x+5     und  -x^2 - 1   erzeugt.

Die ersten beiden sind lin. abh., also reichen

x+1         und  -x^2 - 1 

Damit kannst du keine Linearkombination bilden, die

x als  Ergebnis hat.

Also ist x nicht im Bild von L

Answer 2

wie soll man denn auf L(x-1) kommen ?