Flächeninhalt von abgebildetem Spitzbogen berechnen?

Question

Berechnen Sie den Flächeninhalt der gefärbten Fläche für a = 10 cm.

Wie kann man das ausrechnen? Habe stundenlang diverse Sachen ausprobiert, aber komme nicht drauf.

Kann mir jemand das bitte erklären?

Answer 1

Schau mal ob du mit meinen Ideen was anfangen kannst. ACHTUNG: Meine Ideen würde noch nicht auf korrektheit geprüft. Das solltest du beim Nachvollziehen übernehmen.

Kreisradius

a - √((a/2)^2 + r^2) = r --> r = 3/8·a

Fläche

A = 2·1/6·pi·a^2 - 1/2·a^2·SIN(60°) - pi·(3/8·a)^2 = a^2·(37·pi/192 - √3/4) ≈ 0.1724·a^2

A = 0.1724·10^2 = 17.24 cm²

Comments

Ich hab mal bei den Lösungen nachgeschaut das Resultat wäre 14.5cm².

Bei deiner Rechnung verstehe ich nicht ganz wie du auf den Radius gekommen bist, kannst du mir das noch genauer erkären?

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Schau dir mal das Bild an

In dem Dreieck gilt c^2 = (a/2)^2 + r^2

Auf der langen Strecke gilt a - c = r

Das habe ich nur in einer Formel zusammengefasst um den Radius ausrechnen zu können.

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In dieser Formel hast du ja 2 Unbekannte. Wie rechnest du das aus? Habs ausprobiert aber komme nicht auf die 3/8* a bzw. 3.75.

c²= (a/2)²+r²  sind 2 Unbekannte C und r

und bei a-c = r das gleiche Problem.

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a - c = r --> c = a - r

c^2 = (a/2)^2 + r^2     hier man einsetzen

(a - r)^2 = (a/2)^2 + r^2

a^2 - 2·a·r + r^2 = a^2/4 + r^2

a^2 - 2·a·r = a^2/4

a^2 - a^2/4 = 2·a·r

3/4·a^2 = 2·a·r

r = 3/8·a

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Höchst bemerkenswert, dass eine offensichtlich falsche Antwort derartig ausgezeichnet wird.

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ich habe auch 14.45 heraus
Radius des Innenkreises : r = 15/4

Meine Berechnung ist allerdings recht umfangreich
und beruhen darauf das der äußere Kreis und der innere
Kreis einen Berührpunkt haben.

Außen
f ( x ) = √ ( 100 - ( x + 5)^2 )
Innen
g ( x ) = √ ( r^2 - x^2 ) + r

f ( x ) = g ( x )
f ´( x ) = g ´( x )

Zu Fuß sind die Berechnungen wie gesagt umfangreich.
( Mein Matheprogramm war mir behilflich )
Es kommt aber das Ergebnis der Musterlösung heraus.

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Da bei mir als Kreisradius auch r = 3/8·10 = 15/4 heraus kommt scheint der Teil richtig zu sein. Dann könnte der Fehler in meiner Flächenformel liegen.

Darauf könnte sich der Fragesteller dann mal konzentrieren ob er den Fehler findet.

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Hab seine Antwort als bestes bewertet, weil mit dem Radius kann ich die richtige Fläche berechnen.

Sektor - Dreieck - Rest des Kreises = 7.23

Das ganze mal 2 und dann hat man die 14.46

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Ich habe$$A=\tfrac{25}{32}\cdot\left(110\cdot\arctan\tfrac34-9\pi-24\right)\text{cm}^2.$$

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Der Unterschied lag eigentlich nur in der Interpretation was die gefärbte Fläche ist. Die Spitze scheint wohl nicht dazu zu gehören. Ich dachte dort ist die Farbe nur heller wie in dem linken Teil.

A = pi·a^2·(2·ATAN(0.75)/(2·pi)) - 1/2·a·(3/8·a) - pi·(3/8·a)^2·((2·ATAN(0.75) + pi)/(2·pi))

A = pi·10^2·(2·ATAN(0.75)/(2·pi)) - 1/2·10·(3/8·10) - pi·(3/8·10)^2·((2·ATAN(0.75) + pi)/(2·pi)) = 14.46155319 cm²