Ich fürchte um das Ausmultiplizieren kommst du nicht herum.
Man kann außer den Polstellen auch andere Werte für x einsetzen, um ein lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der Koeffizienten zu erzeugen. Das ist oft weniger aufwändig, als alles auszumultiplizieren, zu sortieren, auszuklammern und zu vergleichen.