Flächeninhalt eines Halbkreises ohne Dreieck im Viertelkreis durch arccos(a)

Question

Ich Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei f:[-1,1] →ℝ, x ↦ \( \sqrt{1-x^2} \) (Also ein Halbkreis mit Radius 1)

I(a) ist die Fläche/Integral unter f von -1 bis a

Δa Ist ein Dreieck mit den Punkten (0,0), (a,0) und (a,f(a))

g(a) misst die Fläche unter Δa für a<0 negativ und a>0 positiv

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a

Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt |F_a| durch arccos(a)

Ich habe mir das ganze schon auf Geogebra veranschaulicht und geometrisch gesehen ist der Flächeninhalt F_a ja \( \frac{1}{2} \)π-\( \frac{a*f(a)}{2} \)

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll... Kann mir jemand ein Tipp/Ansatz geben?

Schonmal vielen Dank!!!

Answer 1

Hallo Lilly,

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll...

Der \(\arccos\) von \(a\) liefert Dir den Winkel \(\alpha\). Ich habe Dir \(\alpha\) gelb eingezeichnet.

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a
Bestimme den Flächeninhalt \(|F_a|\) durch arccos(a)

Damit ist \(|F_a|\) die Fläche des Kreisektors, der durch die Punkte \(x=-1\), den Mittelpunkt \(O\) und den Punkt \(P\) begrenzt ist. Die Fläche eines Kreissektors ist \(F = \frac 12 \varphi r^2\). Nun ist hier \(r=1\) und \(\varphi = \pi - \alpha\) bzw. $$|F_a| = \frac 12 \arccos(-a)$$Gruß Werner