Flächeninhalt eines Halbkreises ohne Dreieck im Viertelkreis durch arccos(a)

Question

Ich Probleme bei folgender Aufgabe:

Sei f:[-1,1] →ℝ, x ↦ $\sqrt{1-x^2}$ (Also ein Halbkreis mit Radius 1)

I(a) ist die Fläche/Integral unter f von -1 bis a

Δa Ist ein Dreieck mit den Punkten (0,0), (a,0) und (a,f(a))

g(a) misst die Fläche unter Δa für a<0 negativ und a>0 positiv

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a

Aufgabe: Bestimme den Flächeninhalt |F_a| durch arccos(a)

Ich habe mir das ganze schon auf Geogebra veranschaulicht und geometrisch gesehen ist der Flächeninhalt F_a ja $\frac{1}{2}$π-$\frac{a*f(a)}{2}$

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll... Kann mir jemand ein Tipp/Ansatz geben?

Schonmal vielen Dank!!!

Answer 1

Hallo Lilly,

Ich weiß jetzt aber überhaupt nicht, wie ich da arccos(a) verwenden soll...

Der $\arccos$ von $a$ liefert Dir den Winkel $\alpha$. Ich habe Dir $\alpha$ gelb eingezeichnet.

Sei F_a die Fläche unter f ohne Δa von -1 bis a
Bestimme den Flächeninhalt $|F_a|$ durch arccos(a)

Damit ist $|F_a|$ die Fläche des Kreisektors, der durch die Punkte $x=-1$, den Mittelpunkt $O$ und den Punkt $P$ begrenzt ist. Die Fläche eines Kreissektors ist $F = \frac 12 \varphi r^2$. Nun ist hier $r=1$ und $\varphi = \pi - \alpha$ bzw. $$|F_a| = \frac 12 \arccos(-a)$$Gruß Werner